Luftige ringvirkninger

På torsdag morgen våknet jeg til nyheter om kraftig snøvær og forsinkelser på Gardermoen. Jeg skulle fly fra Trondheim til Oslo senere på kvelden, men regnet egentlig med at det ikke kom til å bli et problem, da forsinkelsene skjedde såpass tidlig på dagen. Likevel kom  flyet sent inn, og reiste en time senere enn planlagt, til tross for at dette var nesten syv timer etter de opprinnelige problemene hadde oppstått.

Dette fikk meg til å gruble; hvor lenge henger egentlig forsinkelser igjen i flytrafikken, og hvorfor henger det igjen såpass lenge? Hvilke faktorer er det som gjør at en forsinkelse tidlig på morgenen kan medføre såpass med ringvirkninger iløpet av dagen? For å kunne si noe om dette trenger vi noen forutsetninger om hva det er som påvirker flyenes reise- og pausetid.

Flyet har to forskjellige situasjoner det kan befinne seg i, underveis i luften eller under av- og pålastning ved flyplass. Vi begynner dermed resonnementet med å legge til grunn noen antagelser rundt dette.

Det vanlige jeg har opplevd av gjenvunnet tid etter en forsinkelse, er en times lang flygning som gjennomføres på 50 minutter, altså ti minutter som tas igjen iløpet av flyturen. Dette tilsier at flyet klarer å hente inn 10/60, eller 16.667%, av den totale reisetiden iløpet av en flygning. Vi legger dermed dette som grunnlag for tiden et forsinket fly kan hente inn.

Videre antar vi at alle fly trenger omtrent 15 minutter fra landing til å laste av passasjerer, samt ytterligere 15 minutter på å boarde de nye. Dette er knapt, men ikke urimelig. Argumentet for såpass streng bakketid baserer seg på flyselskapenes inntjening. All tid hvor flyet står stille på en flyplass er en kostnad for flyselskapet; de tjener penger på de timene hvor flyet er i luften. Flyselskapene ønsker dermed å minimere turn-around tiden, en antagelse som holder spesielt godt for lavpris-selskap som har lavere profittmargin per passasjerer, og dermed sterkere insentiv til å gjennomføre flest mulige flygninger. Det kan også antas at det i realiteten eksisterer en viss tidsbuffer mellom hver av flygningene et selskap setter opp, nettopp for å minimere  effektene av en forsinkelse. Vi ser i denne analysen initielt vekk fra en slik buffer. Flyene reiser videre så snart den behøvde turn-around tiden er gjennomført.

Med disse antagelsene lagt til grunn får vi den følgende tabellen for et fly som reiser mellom Oslo og Trondheim, med en opprinnelig forsinkelse på 1 time:

 

Flyforsinkelse univariat

Vi ser altså at et fly med mulighet til å hente inn ti minutter per flygning vil med en times forsinkelse behøve seks flygninger for å hente inn rutetiden, enkelt nok. Med en halvtimes turn-around tid er det altså snakk om 9 timer fra den opprinnelige forsinkelsen til første fly atter en gang flyr på rutetid.

Nå har vi valgt veldig enkle tall for flygetid, hva om vi forsøker å sammenligne flere andre ruter? Vi legger til grunn samme prosentvise sats på 16.67% for innhentet tid, samt den samme, konstante turn-around tiden på 30 minutter. En oppsummering for hver av rutene gir følgende:

Flyforsinkelse multivariat

Naturlig nok ser vi at desto lenger flygetiden er, desto færre flygninger vil man behøve for å ta igjen rutetiden. Dette kommer selvfølgelig av at de lengste flygningene har mulighet til å ta inn et større antall minutter per flygning (da dette er satt til en fast prosent av flygetiden). Disse trenger dermed færre snuoperasjoner, som innebærer en fast kostnad på 30min uansett. Som følge av dette ser vi at langdistanseflygninger vil være tidligere tilbake i rute enn lokalflygninger.

Det er klart at hvor lang tid det vil behøves for å fange igjen en forsinkelse vil i denne formen avhenge sterkt av tre faktorerer;

  • Den prosentvise tiden som kan hentes inn iløpet av en flygning
  • Turn-around tid i hver ende
  • Størrelsen på den opprinnelige forsinkelsen.

Vi overvurderer kanskje tiden som kan tas igjen når vi tar utgangspunkt i 10 minutter per time. For å oppnå en slik innhenting er flyet nødt til å øke hastigheten – noe som resulterer i høyere forbruk av bensin, en kostnad for flyselskapet. Flyselskapet har dermed liten interesse av å øke hastigheten, men vil antageligvis heller kutte i turn-around tid i hver ende. Hvis vi tar utgangspunkt i at denne allerede er minimert av selskapet kan vi isåfall vurdere effekten av forskjellige innhentingssatser.

Hvor mange timer med flytid, hvor flyet er i luften og kan ta igjen tiden, som behøves for å ta igjen hver av forsinkelsene ved forskjellige innhentingssatser gjengis nedenfor:

flytid påkrevd for null.png

Vi ser som istad at en times forsinkelse, med utgangspunkt at flyene kan ta igjen 10min per time, resulterer i at et fly må ha seks operative timer i luften før tiden er hentet inn igjen. Noe som med en turn-around tid på en halvtime resulterer i at forsinkelsen henger igjen i systemet i 9 timer etter opprinnelig forsinkelse oppsto.

Dersom vi reduserer innhentningen et fly kan oppnå til 10% øker denne tiden til 10 timer lufttid, og totalt 15 timer med forsinkelse i systemet.

Reduserer vi det ytterligere til knappe 5% kreves det 20 timer lufttid, en total på tredve timer forsinkelse i systemet. En times forsinkelse sinker de påfølgende avgangene i over et døgn!

Heldigvis er det noen ting som i realiteten minsker disse ringeffektene noe. Vi har for eksempel ikke vurdert muligheten for å sette inn ekstra fly ved behov. Dette kan bidra til å lette på presset, og raskt eliminere eventuelle ringeffekter. Vi har heller ikke vurdert en større buffertid mellom hver flygning som kan spises av ved forsinkelse. Dersom det itillegg foreligger en buffer på 15 min per flygning, vil dette i realiteten eliminere forsinkelsene mye raskere;

Med buffer

Det kreves nå kun 3 flygninger for å ta igjen rutetiden. Forsinkelsen henger kun igjen i knappe fem timer ved 16.667% innhentning, og tilsvarende for 10%. Ved 5% tar det 6 flygninger, og 9.5 timer for å hente inn rutetiden, en betydelig forbedring fra 30 timer.

Det er også et poeng at slike forsinkelser sjeldent vil vedvare lenger enn et døgn ved lokalflygninger, da det går få innenlandsflygninger midt på natten og det dermed vil være en del timer uten noen ytterligere flygninger. Dette vil dog kunne være et større problem for interkontinentale flygninger som går kontinuerlig; men disse får da tilsvarende flere lufttimer i strekk som lar dem hente inn forsinkelser raskere.

Flytrafikken er et tett sammenknyttet, og dermed relativt skjørt system. En enkelt forsinkelse tidlig på dagen kan ha ganske brede og langtvarende konsekvenser for resten av flygningene utover dagen. Men når alt kommer til at kan det være greit å ha Louis C. K. i bakhodet:

People say there’s delays on flights. Delays, really? New York to California in five hours, that used to take 30 years, a bunch of people used to die on the way there, have a baby, you would end up with a whole different group of people by the time you got there.

Now you watch a movie and go to the toilet, and you’re home.

— Louis C.K.

 

 

Reklamer

Kasseeffisienshypotesen

Dette er kun en formalisering av en modell som virker implisitt kjent av alle samfunnsøkonomistudenter  og -professorerer ved NTNU Dragvoll.

Modellen er en (svært) kortsiktig modell, den tar for seg umiddelbar tilpasning i kiosken på Dragvoll iløpet av få minutter. Den er dermed ikke presis på lengre sikt.

Vi antar at en hver kunde i kiosken har en nytte av kjøpet som er en funksjon av to parameter, pris (P) og tid i kø (T).

En høyere pris på goder tilsier at kunden er mer desperat for et gode. Vi er ikke like avhengig av en liten sjokolade til 5,- som en full lunsj med drikke til 65,-. Har kunden først bestemt seg for å kjøpe en godekombinasjon til en høy pris har individet rasjonellt bestemt seg for at nytten av disse godene overstiger betalingsviljen – og en høyere pris reflekterer dermed en høyere nytteverdi for kunden.

Tid brukt i køen er (om vi ser vekk fra prokrastineringsformål) et ensidig negativt parameter. Vi liker ikke å stå i kioskkø. Desto lenger vi står i kø, desto mindre blir nytten vår. Etterhvert som T går mot store verdier vil nytten av selv høyt prisede godekombinasjoner gå mot null – kunden går lei og går sin vei (antageligvis til kantina eller kaféen for å handle der istedet).

Kundens nytte kan dermed generaliseres som

U = P – T^2

På motsatt side av transaksjonen har kiosken en nytte av salg avhengig av to parameter, pris (P) og kostnaden ved å ha en kasse åpen (C).

En høyere pris reflekterer en høyere transaksjonsverdi for kiosken, og er dermed en positiv ting. Kostnaden av å ha en kasse åpen er lik kostnaden av at en enkelt ansatt ikke kan bedrive en ellers ønskelig aktivitet (som å stable varer på lager langt vekk fra masete kunder, lese bok på bakrommet eller sjekke Reddit).  Å åpne flere kasse er dermed initielt en kostnad for kiosken.

I kioskens tilpasning av antall kasser som skal åpnes er det dermed tre nøkkelparameter som veier inn, verdien av kundene som står i kø (Antall * Pris), sannsynligheten for at de stikker (som en økende sannsynlighetsfunksjon av tid i kø, P(t)) og kostnaden av å åpne en ekstra kasse (C).

Vi antar at kiosken til enhver tid har en kasse åpen.

Optimaliseringsproblemet kiosken står overfor er dermed en funksjon av disse tre parameterne

Åpne kasse? = f(N*P, P(t), C).

Det sier seg selv at for lave mengder kunder, det vil si at N*P og P(t) er små, vil det ikke lønne seg å åpne en ny kasse. En kasse vil klare å håndtere kundestrømmen raskt og effektivt nok til at ingen kunder velger å ombestemme seg.

Dersom mengden kunder øker til middels må kiosken ta en ny vurdering. Med en gang verdien av kunder som ombestemmer seg grunnet lang kø overstiger kostnaden av å åpne en ny kasse vil kasse nummer to åpnes. Dette vil vedvare til køen er kortet nok ned til at en kasse igjen optimalt kan håndtere kundestrømmen.

Når mengden kunder øker til høy vil dette begrunne åpning av enda en kasse.

La oss nå ta en titt på kassekonfigurasjonen i kiosken. Den ser ut som gitt nedenfor. Kasse 1 håndterer Kø 1, Kasse 2 og 3 håndterer Kø 2.

kassekonfigurasjon

Vi antar at behandlingstiden per kunde er konstant og lik for alle kasser. Videre antar vi at det finnes to typer kunder, et stort antall Generelle Studenter, og et lite antall Studenter Som Har Hatt Optimaliseringsteori (også kalt Økonomistudenter eller Nerder)

Generelle Studenter tilpasser seg ved et raskt øyekast over køen. Dersom Kø 1 er lenger enn Kø 2 vil de stille seg i Kø 2, og motsatt. Generelle Studenter vil dermed medvirke til at Kø 1 og Kø 2 (gitt at Kasse 2 har blitt åpnet og Kø 2 eksisterer) er like lange. 

Hva er da rasjonell tilpasning for Studenter Som Har Hatt Optimaliseringsteori?

Utifra optimaliseringen ovenfor er det dermed gitt at dersom kundemengden er av et slikt volum at Kasse 2 er blitt åpnet vil Studenter Som Har Hatt Optimaliseringsteori alltid velge å stille seg i Kø 2.

Dette kan begrunnes av at det alltid vil lede til ett av de to følgende scenarioene:

  1. Køene er like lange, behandlingstiden er like lang, men volumet er ikke stort nok til å legitimere åpning av Kasse 3. Det vil dermed ta like lang tid i Kø 2 som i Kø 1.
  2. Køene er like lange, behandlingstiden er like lang, og volumet er stort nok til at Kasse 3 åpnes. Da vil tiden i Kø 2 plutselig være halvparten av den i Kø 1.

Er Kasse 3 åpnet vil dette være et argument for at Kø 2 rasjonellt sett skal være dobbelt så lang som Kø 1 for at alle skal oppleve like lang behandlingstid! Likevel er dette (bemerkelsesverdig nok) nesten aldri tilfellet.

Studenter Som Har Hatt Optimaliseringsteori kan stadig vekk nyte en kortere behandlingstid i Kø 2 enn Kø 1, fordi den generelle tilpasningen av å stille seg i den korteste køen ikke er optimal adferd!

Hurra for optimaliseringsteori!

(Og til alle som nå kjenner seg litt snurt over de dyrebare sekundene som over årene har forsvunnet fordi man har valgt Kø 1 – dere kan trøste dere med at denne Nerden nettopp har brukt opp all den inntjente tiden, og mer, på å påpeke dumheten)

Verdien av en stemme (gitt at du faktisk stemmer)

Når du stemmer på et parti ved stortingsvalg, gir du en stemme til en plass på Stortinget for partiet. Du utgjør dermed en liten del av et mandat, som er en liten del av et Storting, som skal fastsette statsbudsjettet. Så hvor mye er din stemme verdt i det store og det hele?

For ordens skyld, jeg vet at det er kommunevalg i år – men det finnes naturligvis hittil lite statistikk for årets valg, så jeg har istedet bestemt meg for å benytte talldata fra Stortingsvalget i 2013. Det fungerer også litt bedre sånn rent logisk, siden det er Stortinget, ikke kommunene, som fastsetter statsbudsjett (og jeg gidder ikke å sette meg inn i kommunaløkonomi helt ennå).

Problemet med å beregne verdien av en stemme i Norge er at valgsystemet vårt er litt merkelig satt opp. For vi stemmer inn 169 mandater til Stortinget, men disse mandatene er fordelt forskjellig mellom de forskjellige fylkene.

Hvordan fastsettes denne fordelingen? En logisk løsning virker å vekte hvert fylke utifra befolkning; flere mennesker skal ha større påvirkning – og dermed flere stemmer. Problemet med dette er at store fylker vil få en veldig liten påvirkning relativt til areal. Finnmark, som er ti ganger større enn Akershus, vil kun ha en tiendel av påvirkningen til Akerhus. Dette er uheldig, da større areal krever større investeringer for å holde veier o.l. ved like. Samtidig fungerer det dårlig å vekte kun på areal, da vil Finnmark plutselig vektes 107 ganger tyngre enn Oslo, enda det bare bor omtrent 75 000 personer i fylket.

Løsningen har, på magisk vis, blitt følgende formel: Totalt areal i fylket, ganget med 1.8 (jeg forsøkt å forstå hvorfor, og jeg aner ikke. Magisk se-så-stort-fylket-vårt-er-multiplikator!) pluss befolkningstallet i fylket. Om man så summerer dette tallet for alle fylkene, og finner andel for hvert enkelt fylke, har vi vektingen av mandater. I tall ser dette sånn ut:

Fylke Areal (km^2) Befolkning Areal*1.8 + Befolkning Mandatvekt Mandater (ifølge regel) Mandater (faktisk)
Akershus 4,918 584,899 593,751 0.1033 17.46 17
Buskerud 14,910 274,737 301,575 0.0525 8.87 9
Hedmark 27,397 195,153 244,468 0.0425 7.19 7
Møre & Romsdal 15,113 263,719 290,922 0.0506 8.55 9
Nord-Trøndelag 22,414 135,738 176,083 0.0306 5.18 5
Oslo 454 647,676 648,493 0.1128 19.06 19
Sogn & Fjordane 18,623 109,170 142,691 0.0248 4.19 4
Telemark 15,299 171,953 199,491 0.0347 5.86 6
Vest-Agder 7,276 180,877 193,974 0.0337 5.70 6
Østfold 4,182 287,198 294,726 0.0513 8.66 9
Øst-Agder 9,158 114,767 131,251 0.0228 3.86 4
Finnmark 48,615 75,605 163,112 0.0284 4.80 5
Hordaland 15,440 511,357 539,149 0.0938 15.85 16
Nordland 38,460 241,682 310,910 0.0541 9.14 9
Oppland 25,189 188,807 234,147 0.0407 6.88 7
Rogaland 9,375 466,302 483,177 0.0841 14.20 14
Sør-Trøndelag 18,855 310,047 343,986 0.0598 10.11 10
Troms 25,869 163,453 210,017 0.0365 6.17 6
Vestfold 2,224 242,662 246,665 0.0429 7.25 7
Totalt 323,771 5,165,802 5,748,590 169 169

Okai, mye tall på en gang. «Mandatvekt» gir her hvor stor andel av det totale antallet mandater et fylke skal ha. Akerhus skal f.eks ha 0.1033, eller 10.33% av alle mandatene – som tilsier at de skal ha 17.46 av 169 mandater. Dette stemmer godt da de har 17.

Nå som vi har funnet vektingene kan vi ta snittet av dette over de nitten fylkene for å finne den gjennomsnittlige effekten av en tilfeldig trukket norsk velger. På snitt har fylkene et areal på omtrent 17.000 kvadratkilometer, og en befolkning på 272.000 personer. Det gir en mandatvekt på 0.0526, som tilsier 8.89 mandater.

Et gjennomsnitt av fylkene vil dermed se ut som følger:

Personer Antall mandater Stemmer per mandat En stemme utgjør
271,884 8.89 30566 0.0000327% av et mandat

Men! Her har jeg gjort en kritisk feil. Det stemmer nemlig ikke at alle i Norge har stemmerett. Av de 5.1 millioner menneskene som var bosatt i Norge i 2013 var det kun 3.640.000 som faktisk var stemmeberettiget. Hvis vi antar at de stemmeberettigede er likt fordelt som befolkningen ellers, vil mandatvektene forbli uforandet – en av fordelene med med å benytte brøk. Da kan vi regne andelen hvert fylke har av total befolkning, og gange det med antall personer som har stemmerett for å få et nytt anslag på personer som skal stemme i hvert fylke.

Dermed får vi et gjennomsnitt av fylkene:

Personer Antall mandater Stemmer per mandat En stemme utgjør
191,671 8.89 21548 0.0000464% av et mandat

Men det er heller ikke alle med stemmerett som velger å stemme.  Ved stortingsvalget i 2013 var det 78.3% valgdeltagelse. Valgoppslutningen er ulikt fordelt utover landet. Det er kjent at østlandet har notorisk lavere oppslutning enn andre deler av landet. For enkelthetens skyld velger jeg likevel å anta at det er en lik fordeling, slik at jeg kan benytte snitt, istedet for å måtte vekte hvert fylke med sine mandater mot relativ valgoppslutning. (Fordi, jeez, jeg er ikke så nerdete.)

Da får vi, igjen på snitt:

Personer Antall mandater Stemmer per mandat En stemme utgjør
150,053 8.89 16870 0.0000593% av et mandat

Vi ser dermed at om alle stemmeberettigede i Norge hadde stemt, ville deres stemme representert 1.4 personer av den totale befolkningen. Tilsvarende representerer de som faktisk stemmer 1.8 personer av den totale befolkningen.

Det vil si at dersom du stemte i 2013 telte din stemme 27% mer enn den hadde gjort om alle som kunne stemt, hadde gjort det. 

Så, hvor mye er en stemme egentlig verdt?

Statsbudsjettet i 2013 var på 1037 milliarder kroner. Dette budsjettet godkjennes av flertallet i Stortinget. Det vil si at en stemme utgjør 0.0000593% av 1/169 (ett mandat) av budsjettet på 1037 milliarder.

Din stemme er dermed vært omtrent 363 728 kroner. 

Det må nevnes at dette ikke nødvendigvis blir helt korrekt. Stemmen din vil strengt tatt utgjøre den betingede verdien av at du stemmer på en kandidat som får et mandat, som er med på å utgjøre en forskjell i Stortinget som godkjenner budsjettet. Om man stemmer på Kystpartiet, og de ikke får noen mandater har man jo på sett og vis ‘kastet bort’ stemmen sin. Men det vil altså avhenge av hvordan alle andre stemmer. Er du den eneste som stemmer kontrollerer jo plutselig Kystpartiet hele stortinget, og da blir stemmen din lik verdien av det totale budsjettet. Hot damn!

Prinsippet står uansett. Stemmeretten din er verdifull. Sørg for å bruke den 🙂

Square one

Etter mye om og men har jeg altså nådd det punktet hvor jeg starter en blogg.

What? Hvem starter en blogg i 2015

Det finnes bare så mange ord og tall man kan føre i et facebook-innlegg før folk blir oppgitt. Facebook er et sted man vil prokrastinere, ikke lese ville avhandlinger om all verdens rare sammenhenger som noen har blitt opphengt i.

Så her er det. Mitt eget lille vindu hvor jeg kan la galskapen og tankene flyte fritt.