Hvor langt skal du reise før det lønner seg å kjøpe jagerfly?

Dette innlegget startet med en enkel påstand som lød som følger, «Det er billigere per kilometer med bil enn det er med buss.»

Jeg var provosert. Det er klart det er billigere med buss? Hvordan kunne man noensinne tenke seg at bilen var billigere; den er dyr og stor og sluker bensin og forsikringsavgifter og veiavgifter og bomringer og…

Jeg innså at utgangspunktet mitt var feil. Det ble aldri hevdet at det var billigere, men at det var billigere per kilometer. Det vil altså si hvor mye det koster meg i direkte kostnader å sette meg i en bil og kjøre en kilometer, versus hvor mye det koster meg i en buss. Det er et litt merkelig sammenligningsgrunnlag, vi pleier ikke å kjøpe bussbilletter i kilometer – vi kjøper det for en tidsperiode.

… Som når alt kommer til alt er et merkelig konsept. Når vi skal reise mellom byer, si med tog fra Oslo til Trondheim, betaler vi for distansen som skal reises. Det er X antall kilometer, og vi betaler for å transporteres den avstanden istedet for tiden det tar. Det samme gjelder flybilletter, om jeg reiser med fly må jeg ikke betale noe ekstra dersom det tar lang eller kort tid – prisen er avhengig av avstanden som skal reises. 

Dette er plutselig ikke tilfellet med buss – i byer tillater vi oss plutselig å skulle betale for tiden vi benytter på transportmiddelet. Jeg kjøper meg billett for en time, hvor langt jeg kommer på den tiden vil være variabelt. Om bussen står i kø i 30 minutter  vil jeg komme kortere enn om det ikke er en annen bil på veien – jeg betaler altså for tiden ombord i transportmiddelet, og det er uavhengig av reisedistansen. Avtalen jeg inngår med busselskapet for å komme meg en viss avstand avgårde er altså uavhengig av distansen jeg ønsker å dekke, men heller avhengig av variable som er utenfor min kontroll, som kødannelse og ulykker. Det er i bunn og grunn en merkelig avtale å være villig til å inngå. 

Utgangspunktene til meg og professoren min er også grunnleggende forskjellige: han har bil, det har ikke jeg. For han vil dermed de direkte kostnadene av en kilometers reise med bil bestå av bensinkostnadene (og eventuelt bomavgiftene) som påløper. For min del vil det bestå av kjøpesummen for bilen pluss de samme kostnadene. Der det for han kan være nede i enkelte kroner vil det for min del passere mange titalls tusen.

Dermed vekkes det aktuelle spørsmålet, hvor langt unna campus må jeg bo før det er økonomisk lønnsomt å skaffe seg bil?

Vi starter med å legge til grunn litt data.

Avstanden fra hybelen min til campus er drøye 5,7 km om vi stoler på Google Maps. Dette er avstanden jeg reiser daglig til og fra skolen, fem dager i uka, 17 uker i semesteret. Total avstand jeg pendler i studiesammenheng i semesteret er altså 5.7 km * 2 * 5 * 17 = 969 km.

Fun fact: Det tilsier at jeg iløpet av et semester kjører en distanse tilsvarende Trondheim-Alta, eller Trondheim-Kiel iløpet av min daglige pendling til og fra lesesalen. Det er et godt stykke:

969km

Ved semesterstart betalte jeg omtrentlig 2140,- for månedskortet mitt hos AtB. Det vil si at jeg betaler omtrentlig 2 kroner og 21 øre per kilometer jeg reiser dette semesteret.

Dette er strengt tatt ikke helt korrekt. Jeg benytter meg også av buss foruten om den daglige pendlingen til og fra skolen, jeg reiser også til og fra venner og sentrum. Jeg utelater likevel dette fra beregningen ettersom at dette er en distanse jeg alternativt også hadde medregnet i kostnaden av bilbruk. Det er derfor lettere å ta utgangspunkt i en størrelse jeg er sikker på, og bruke denne for kostnadsberegningen ved begge alternativene. 

Alternativet til å reise med buss hadde vært å kjøpe en bil jeg kunne bruke til og fra skolen. Etter en liten runde på Finn.no har jeg oppdaget at det går ann å kjøpe bruktbiler som visstnok fungerer til omtrent 15.000.

Regnestykket for reelle kostnader ved en bil er litt komplekst. Det innebærer mange forskjellige kostnader, fra verdifall, rentekostnader, forsikring og årsavgift, til drivstoff, bomstasjoner, service, reparasjoner, vedlikehold, dekk og mer til.

Kostnadstype Hvor mye Hvor ofte Sum
Kjøp av bil 15 000,- 1 gang 15 000,-
Verdifall ? hele levetiden ?
Forsikring 4 500,- per år 4 500,-
Årsavgift 2 820,- per år 2 820,-
Drivstoff 14,- per liter 1 356,-
Bomstasjon 36,- tur / retur 3 060,-
Service ? ? ?
Reparasjon ? ? ?
Vedlikehold ? ? ?
Dekk ? ? ?
Rentekostnader 0.012% per år 321,-
27 057,-

Litt om kostnadene:

Kjøpesum er selvforklarende nok.

Verdifallet måler hvor mye mindre bilen blir verdt over tid; ettersom at vi tar utgangspunkt i et vrak kan vi se bort ifra verdifallet. Vi er ikke interessert i hva som skjer med bilen etter vi har benyttet den, bare at den varer de 969km vi behøver. Vi kan like greit anta at bilen er verdiløs etter vi er ferdig, slik at verditapet totalt blir lik kjøpesummen på 15.000.

Forsikringsverdien er et grovt estimat, vi antar en årlig sum på omtrent 4 500,- og årsavgift fant jeg på skatteetatens sider, her. Den er for 2017 satt til 2 820,-.

Drivstoff er estimert med utgangspunkt i en gammel, litt sliten bil som klarer 10km på literen. Med en total reisedistanse på 969km behøver vi altså 96.9l med bensin. Priset til 14,-/l blir dette 1356;- totalt.

Bompenger fant jeg ved hjelp av denne bompengekalkulatoren. Den gir at prisen skal være 9,- til universitet, og 27,- på vei tilbake – slik at summen totalt blir 36,- tur/retur. Vi regner en tur-retur, 5 dager i uka, 17 uker i semesteret, og får totalt 3 060,-.

Utgifter som service, reparasjon, vedlikehold, dekk o.l. er vanskeligere å estimere. For å jukse litt ignorer jeg derfor disse kostnadene. Vi satser på at vi kjører veldig forsiktig, og aldri er nødt til å betale en krone ekstra for noen av disse tingene. Flaks, gitt!

Rentekostnaden er rentene vi kunne fått av pengene vi har benyttet på bilen dersom vi hadde satt pengene i banken istedet. Med de lave rentene vi ser idag har jeg tatt utgangspunkt i en rente på 1.20%. Dette er altså 1.20% av de 26 736,- som vi har måtte benytte hittil. Det gir et  totalt rentetap på 321,- over et år.

Den endelig kostnaden vår for bil tur-retur lesesal er altså 27 057,-. Til sammenligning kostet altså busskortet meg 2140,-. Ettersom at begge av metodene reiser like langt er det opplagt at kilometerkostnaden for bil er betydelig høyere, mer enn 12 ganger mer.

Kostnad per kilometer er altså betydelig høyere for bil enn for buss, men i dette tilfellet har vi jo måttet regne med en rekke fast kostnader som vi ikke behøver for buss. Det kan være av interesse å vurdere hvor mye det hadde kostet oss om vi fikk bilen gratis, og bare måtte betale for de variable kostnadene. Det vil altså si summen bensinkostnader og bomkostnader, en totalsum på 4416 per semester. Vi ser altså at selv om vi hadde mottatt bilen gratis koster den oss omtrent dobbelt så mye per kilometer sammenlignet med buss: 4 kroner 55 øre – istedet for 2 kroner og 21 øre.

En modell med tidskostnader

Det virker altså opplagt at kostnaden ved bil per kilometer er høyere enn for buss, ihvertfall så lenge vi regner på direkte kostnader. Det som kan være interessant å merke seg er at biler stort sett reiser raskere enn busser. Busser er nødt til å stoppe støtt og stadig for å slippe av og plukke opp passasjerer, og har visse begrensninger for hvor raskt de har lov til å kjøre med passasjerer som ikke har sikkerhetsbelte. De kjører heller ikke nødvendigvis den mest effektive ruten, men heller den ruten som er mest befolket. Vi kan derfor anta at det foreligger en tidsgevinst ved å velge å kjøre bil fremfor buss. For å beregne denne gevinsten er vi nødt til å regne den om til en pengeverdi, vi trenger altså å tilegne den tiden som vi bruker på å reise en verdi. Heldigvis skrev jeg en del om dette da jeg regnet på hvor lenge man kunne holde igjen bussen. Jeg trenger også et estimat på hvor mye tiden min er verdt, ettersom at jeg er en student og ikke tjener en timeslønn. Det skrev jeg om her

Vi tar altså utgangspunkt i en timeslønn på 726,-, og legger denne til grunn når vi skal beregne gevinsten av å komme raskere frem. Ifølge Google Maps antas det 15 minutter reisetid hjemmefra til campus med bil. Tilsvarende tar det 19 minutter med buss. Det vil si at man sparer 4 minutter med bil, eller 49,- målt i timeslønn.

Det er nå regnestykket blir interessant. Buss koster oss 2kr 21 øre per km, eller 2140,- for 969 km. Om vi fremdeles antar at vi får bilen gratis, og kun betaler for bensin og bompenger, koster bil koster 4 kr 55 øre per kilometer, eller 4416,- for 969 km. Til gjengjeld sparer bilen oss åtte minutter for hver dag som går. 5 dager i uka, i 17 uker, er dette en total tidsinnhenting på 680 minutter, eller 11 timer og 20 minutter i løpet av et semester. Det tilsvarer en gevinst på 8 228 kroner ved at vi kjører bil! Det er mer enn bilen koster oss i variable kostnader, vi tjener altså penger på å kjøre bil!

Hva om vi regner med at vi kjøper bilen som først antatt; hvor mye tid må vi spare før vi det lønner seg å kjøre bil fremfor å ta buss? Da regner vi altså med en kostnad på 27 057 som før, med alt inkludert. Til gjengjeld trenger vi at tidsrabatten, den tiden vi vinner igjen, må utgjøre en total rabatt på på minst 24 918. Det skjer når:

(2*t)*5*17*726\geq 24 918

altså når t \geq \frac{24918}{2*5*17*726} = 0.2019

Det vil si når vi sparer minst 20.19% av en time, eller 12 minutter og 7 sekunder hver vei. Da vil total tidsinnsparing bli 34 timer og 20 minutter iløpet av semesterets helhet. Det er en total tidsgevinst på 24 918,- og da er det altså en krone billigere å kjøpe og bruke bil fram og tilbake til skolen fremfor å reise med buss.

Disse tallene er basert på kostnadene jeg la til grunn for bilen tidligere. Det kan dog være av interesse å se hvor langt vi må reise, eller hvor mye tid vi må spare, før det lønner seg å bytte til en raskere fremgangsmåte. Det billigste alternativet vil i direkte kostnader alltid være å gå, men dette alternativet hensyntar ikke kostnaden ved tiden man bruker. Da kan det fort lønne seg å kjøpe en sykkel. Eller et busskort, en bil, eller til og med et jagerfly. Dersom vi sammenligner flere kjøretøy kan vi se på tidsrabatten, hvor mye tid vi sparer på å velge et kjøretøy fremfor et annet – og hva dette vil utgjøre i ren pengeverdi. Vi kan starte med å vurdere et lite privatfly.

Cessna 150

Dette er et 1966 Cessna 150 småfly. Det ligger for øyeblikket ute for salg på Ebay til den nette sum av 83.827 kr ($10400). Med et vingespenn på bare 10 meter, og en marsjfart på 196km/t er det et ideelt småfly å vurdere dersom vi er lei av å sitte i bilkø på vei til campus. I tillegg til kjøpssummen trenger flyet trenger omtrent 19 liter bensin per flytime. Flyet benytter seg av 100LL flybensin som (i følge Hallingdal Flyklubb) for tiden kan kjøpes for omtrent 20 kr/l. Det betyr at total bensinkostnad for oss med lesesalspendling blir 1874 kr i semesteret, en drøy 500-lapp mer enn vi ville brukt ved tilsvarende drivstoff til en bil. Samtidig kan vi også se bort ifra bompenger, det finnes ingen bomstasjoner i luften!

… Det påløper selvfølgelig en god del forsikringspoliser, løyver og avgifter ved bruk av personlig småfly, for å ikke snakke om det faktum at man med 10m vingespenn må betale for 5 parkeringsplasser om gangen. For enkelthetens skyld ser jeg dog bort fra disse kostnadene, det er kjøpssum, bensinkostnader og tidskostnader som blir de kostnadene vi regner med for småfly (og resten av garasjen jeg skal vurdere).

Men dette er kanskje ikke nok? Skal man først være eksentrisk nok til å fly til campus kan man vel i det minste fly i stil…

Lockheed Martin F-16

Dette er et Lockheed Martin F-16 fler-rolle kampfly. Kanskje et av de mest ikoniske jagerflyene i moderne tid, F-16 har en behagelig marsjhastighet på 850km/t, og får oss til campus på omtrent 24 sekunder.

…om vi ser bort i fra tid for takeoff og landing; vi antar enkelt og greit at vi flyr 850km/t hele veien. Eventuelt at vi gasser på litt ekstra over Gløshaugen og Moholt.

Dessverre er ikke dette flyet spesielt tilgjengelig ved mindre du er ansatt i Forsvarsdepartementet eller har gode kontakter i skyggefulle organisasjoner. Det nærmeste kommersielle varianten vi kan få tak i er et utdatert sovjetisk MiG 21UM. Kanskje ikke like hendig i  luftkamp, men ettersom at vårt primære mål bare er å fly veldig fort får det duge.

MiG 21UM

Etter å ha søkt litt, og antageligvis blitt oppført i PST sitt nasjonale sikkerhetsregister, fant jeg et MiG 21UM til salgs i Florida for $250.000, eller drøye 2 millioner norske kroner. Flyet skal klare en tilsvarende marsjhastighet som F-16, omtrent 850 km/t. Bensinkostnadene er dog litt verre.

Det viser seg at beregningstabeller for estimert bensinbruk av jagerfly er ganske komplekse. Bensinforbruket avhenger av flyets vekt, hastighet og høyde over havet. Lette fly som flyr sakte og høyt i atmosfæren der det er mindre luftmotstand, krever opplagt nok mindre bensin enn tunge, raske fly i lav høyde. MiG 2UM bruker mellom 500 liter per 100km ved 550 km/t ved havnivå, og 1200 liter per 100km ved 1300 km/t ved havnivå. Etter mye lesing på russiske nettforum for ekstremt jagerflyinteresserte virker det likevel som omtrent 500 l per 100 km ved 850 km/t ved havnivå er et greit estimat. Det tilsvarer drøye 4250 liter flybensin per time. Hallingdal flyklubb tilbyr utifra hva jeg kan finne dessverre ikke bensin til jagerfly, men prisen ser ut til å ligge på omtrent 11kr per liter om man finner seg en grei leverandør. De totale bensinkostnadene våre blir dermed 52.983 kr per semester.

Det skulle vise seg at det å pendle til og fra lesesalen med avdankede sovjetiske jagerfly hverken er spesielt miljøvennlig eller spesielt billig. Men det er ihvertfall spesielt.

…Går det an å reise enda raskere?

Romferge

Om jeg blir bedt om å nevne det raskeste transportmiddelet jeg kan tenke meg ville jeg svart med romfergene. For å klare å slynge et objekt ut fra jordens atmosfære kreves det en unnslipningshastighet på omtrent 11.2 km/s, eller 40 269 km/t.

Artig nok er dette nesten nøyaktig det samme som jordas omkrets på 40 075 km. Dette viser seg å være en ren tilfeldighet, men fungerer som en enkel huskeregel neste gang noen spør deg om hvilken hastighet som kreves for å unnslippe jordas gravitasjon. Du vet, neste gang du er på fest eller no’.

Problemet er at romfergene ikke oppnår makshastighet med en gang, noe som vises i den følgende grafen:

Dette problemet eksisterer også for jagerflyene, men det føles ikke helt rettferdig å benytte marsjhastigheten for en romferge som snitthastighet, da disse ofte blir hjulpet av planetariske legemer og det faktum at de reiser i vakuum. Og selv om jeg er glad i forenklinger, fremstår det å forenkle bort all luft i hele verden på vei til lesesalen som et potensielt større problem enn eventuelle bomringer og årsavgifter på romfergen min. Etter litt research viser det seg at romfergene har en akselerasjon på omtrent 5m/s^2 ved takeoff, og som vi også ser av grafen over tar det omtrent 48 sekunder før de har nådd en høyde på 5.7 km. Det gir en snitthastighet på 428 km/t, og vi velger å benytte dette som estimatet vårt, bare at vi istedet for å reise oppover velger å reise sidelengs mot NTNU Dragvoll, og sikter oss inn på ett av de store jordene rett ved siden av campus for en enkel og praktisk hverdagspendling.

Det gjenstår imidlertidig et lite problem:

Det er merkelig nok få som tilbyr romferger, enten brukte eller nye, for tiden. Dermed er det også vanskelig å si noe sikkert om hvor mye det koster å kjøpe en romferge. Wikipedia kan imidlertidig peke oss i riktig retning:

I mangel på noe annet legger vi altså dette beløpet til grunn, $450.000.000, eller litt over 3.6 milliarder norske kroner. Dette antas da å inkludere bensinkostnader, eventuelle kommunale løyver og de 70 parkeringsplassene man vil behøve etter man har dumpet skyverakettene over Voll et sted (og med en hårfin lukeparkering som gir 10cm klaring til stripen).

Oppsummert:

Oppsummeringen over transportmidlene, kostnader per km, tidsbruk og totalkostnader medregnet tidsforbruk følger under. Merk at kjøpesum og variable kostnader er sammenlagt i kilometerkostnaden:

Transportmiddel Kjøpssum: Kostnad per km Hastighet Tid per tur Total avstand Total tid, ett semester Tidskostnad Bensinkostnad Totalkostnad
Ben 0,00 kr 0,00 kr 4.4km/t 1t 18min 969km 220t 14min 159 885,00 kr 0,00 kr 159 885,00 kr
Sykkel 1 500,00 kr 1,55 kr 12 km/t 29 min 969km 80t 45 min 58 624,50 kr 0,00 kr 60 124,50 kr
Buss 2 140,00 kr 2,21 kr 18 km/t 19 min 969km 53t 50 min 39 083,00 kr 0,00 kr 41 224,49 kr
Bil* 15 000,00 kr 20,03 kr 23km/t 15 min 969km 42t 8 min 30 586,70 kr 1 356,00 kr 49 995,65 kr
Privatfly 83 021,00 kr 87,61 kr 196km/t 105 sekunder (ved marsjfart) 969km 4t 57min 3 589,26 kr 1 874,00 kr 88 484,26 kr
Jagerfly 2 000 000,00 kr 2 118,66 kr 850km/t 24 sekunder (ved marsjfart) 969km 1t 8 min 827,64 kr 52 983,00 kr 2 053 810,64 kr
Romrakett 3 613 725 000,00 kr 3 729 366,06 kr 428 km/t 48 sekunder 969km 2t 16 min 1 643,68 kr ??? 3 613 728 286,68 kr

Merk at jeg her har medregnet kjøpssummen av bilen (15.000 kr) i kilometerkostnaden for bilen. Det er grunnen til at kilometerkostnaden blir 20/km, sammenlignet med 4,55 oppgitt tidligere. 

Vi ser altså at det lønner seg, når alt kommer til alt, å reise med buss. Bussen gir det gunstigste forholdet mellom tid benyttet, og kjøpssum for bruk av transportmiddelet. Buss er relativt raskt, men koster også lite.

Det kan likevel påpekes at totalkostnaden for flyene i stor grad er preget av kjøpssummen. Vi ser at dersom du allerede eier flyet koster det egentlig veldig lite i drift grunnet all tiden du sparer.

…Da ser vi selvfølgelig også bort ifra kostnader til årsavgifter, bøter, reparasjoner og erstatningskrav for knuste vindu som følge av flyging i overlydshastighet over byrom, samt forsikringspoliser og eventuelle skader på biler ved bruk av Dragvoll parkeringsplass som landingsbane. Pluss et par ting til.

Fjerner vi kjøpssummen fra alle alternativene blir plutselig bildet seende veldig annerledes ut, da blir kostnadene kun bestående av løpende kostander og tidskostnader ved bruk av hvert fartøy.

Transportmiddel Kjøpssum Kostnad per km Hastighet Tid per tur Total avstand Total tid, ett semester Tidskostnad Bensinkostnad Totalkostnad
Ben 0,00 kr 0,00 kr 4.4km/t 1t 18min 969km 220t 14min 159 885,00 kr 0,00 kr 159 885,00 kr
Sykkel 0,00 kr 0,00 kr 12 km/t 29 min 969km 80t 45 min 58 624,50 kr 0,00 kr 58 624,50 kr
Buss 0,00 kr 2,21 kr 18 km/t 19 min 969km 53t 50 min 39 083,00 kr 0,00 kr 41 224,49 kr
Bil 0,00 kr 4,55 kr 23km/t 15 min 969km 42t 8 min 30 586,70 kr 1 356,00 kr 34 995,65 kr
Privatfly 0,00 kr 1,93 kr 196km/t 105 sekunder (ved marsjfart) 969km 4t 57min 3 589,26 kr 1 874,00 kr 5 463,26 kr
Jagerfly 0,00 kr 54,68 kr 850km/t 24 sekunder (ved marsjfart) 969km 1t 8 min 827,64 kr 52 983,00 kr 53 810,64 kr
Romrakett 0,00 kr 1,70 kr 428 km/t 48 sekunder 969km 2t 16 min 1 643,68 kr ??? 3 287,36 kr

 

Vi ser til tross for at en romferge vil benytte dobbelt så lang tid som vårt utdaterte sovjetiske jagerfly vil det være betydelig billigere å benytte seg av dette dersom du har et ferdig finansiert romprogram i garasjen, enn det vil være å betale bensinkostnadene for jagerflyet. Småfly er faktisk ikke langt dyrere, med en totalpris på snaue 5.500 kr. Deretter kommer bil inn på en solid tredjeplass, billigere enn buss, dersom man allerede eier bilen. Artig nok ser vi faktisk at det koster deg mer å sykle enn det vil å fly MiG i lav høyde. Nok en grunn til at jeg neppe kommer til å begynne å sykle om morgenen med det første.

Dette bringer meg omsider tilbake til det originale spørsmålet mitt, hvor langt må man egentlig reise før det lønner seg å kjøpe et jagerfly? Spørsmålet kan omformuleres, hvor langt må man regne med å måtte reise før tidsinnsparingen ved kjøp av et jagerfly dekker kostnaden ved kjøpet, relativt sett til en tilsvarende reise med buss? Tidsinnsparingen vi trenger kan vi finne ved regne slik vi gjorde i starten, ved å løse den følgende ligningen for t

(2*t)*5*17*726\geq pris

For en Cessna finner vi dette når

t \geq \frac{83021}{2*5*17*726} = 0,67267, altså når man sparer inn 40 minutter 22 sekunder hver vei.

For å finne ut hvor langt vi må reise før et Cessna 150 har tjent inn 40 minutter 22 sekunder relativt sett til en buss bruker vi den følgende formelen

\frac{V_1*t - V_2*t}{V_2} = T_{saved}

der V_1 er hastigheten til flyet, V_2 er hastigheten til bussen og T_{saved} er tiden vi behøver å spare inn. Da gir t tiden vi er nødt til å reise. Dette viser seg å være 0,068 timer, eller omtrent fire minutter. Fire minutter med et Cessna-fly i 196 km/t gir oss en avstand på 13.33 km. I løpet av disse fire minuttene har bussen rukket å kjøre 1.22 km, og har 12.11 km igjen. Med en hastighet på 18 km/t trenger den altså 40 minutter 22 sekunder til den når samme punkt som flyet, og vi ser at det lønner seg å fly. Matematikken holder altså vann. Det vil si at på kartet nedenfor vil det lønne seg å benytte småfly for alle avstander som ligger utenfor den grønne sirkelen. Det lønner seg altså ikke  for en rask tur til sentrum, men med en gang man skal litt utenfor byen lønner det seg raskt. Artig nok betyr det at det lønner seg å ta småfly til Værnes Flyplass dersom du skal ut og reise.

Tilsvarende kan vi finne at avstanden som kreves før pendling med et MiG-fly blir lønnsomt er 297.91 km, hvorpå flyet sparer inn 16 timer og 12 minutter relativt sett til en buss. Dette er en ganske kort avstand, det tilsvarer nesten perfekt luftlinjen mellom Oslo-Bergen, Oslo-Stavanger, eller Oslo-Røros.

Jeg tillater meg nå å digregere et øyeblikk. Et moderne privat jetfly som Gulfstream IV har en marsjfart på tilsvarende det vår gamle MiG 21UM har. Flyet har en del høyere stykkpris, men resonnementet over kan lett utvides; en høyere stykkpris tilsier kun at det må bespares mer tid, og dermed også at påkrevd distanse for lønnsomhet må være større. Det likevel dette som begrunner det som mange nordmenn stusser over når de hører om utenlandske firma eller millionærer som har personlig jetfly. Gitt at du eller dine ansatte har en høy nok timeslønn sparer man overraskende inn pengene ved  å investere i privatjet versus det å benytte seg av kollektiv transport der hastighetene er lavere og transit-tiden er lenger. Om vi flytter sirkelen over til London ser vi hvordan det kan lønne seg for europeiske storbanker med hovedkvarter i London og Sveits å ha privatfly.

Eller enda tydeligere, hvorfor amerikanske selskaper ofte påkoster seg dette

Det er rett og slett dyrt å betale høyt betalte mennesker mye penger for å reise med treg transport, tanken om å kjøpe seg jetfly ved langdistansependling er ikke så fremmed som mange kanskje tenker seg.

Hva så med romferge? Med en pris på over 3.6 milliarder kroner kreves det en innsparing på 29 279 timer hver vei. Det betyr at avstanden må være større eller lik 527 359 km. Men nå burde vi kanskje vurdere marsjfarten til romfergen til å være en del høyere skarve 428 km/t? Selvom vi benytter oss av topphastigheten på såvidt over 28000 km/t gjør det liten forskjell, det vil fremdeles først lønne seg å reise med romferge dersom du skal utenfor det markerte området:

Logisk nok. Jeg venter fremdeles på den dagen det begynner å gå buss i skytteltrafikk til den internasjonale romstasjonen.

Har man et romprogram liggende i garasjen eller ferdig montert i bakgården vil dette altså lønne seg, men for alle oss andre som må ta vurdering av innkjøpet i tillegg lønner det seg fremdeles å ta buss. Så kan jeg også anbefale å benytte en ekstra hundrelapp på en god bok, da føles fort tidskostnaden betydelig mindre. God pendling!

Reklamer

Om synkroniserte hjerter og bursdagsproblemet

En av fordelene ved å være glad i sære matematiske sammenhenger er at man ofte blir stilt interessante spørsmål. Spørsmål sånn som dette:
Du, mattegeniet, kunne du gjort meg en tjeneste? Jeg trenger litt hjelp med sannsynlighetsberegning for hvor mange hjerter som slår samtidig på jorden, og sjansen for at hvor mange ville slått sammen i en gruppe på ca 50 mennesker – kan du bidra?
Uh, hvor i all verden begynner man?

Problemet består altså av å beregne sannsynligheten for at to tilfeldige mennesker har hjerter som slår i takt. Det krever en del forutsetninger for hjerterytmer, og en diskusjon av hva samtidighet egentlig innebærer.

Et normalt hjerte har hjerterytme mellom 60 og 100 slag per minutt. Toppidrettsutøvere kan ha en rytme på så lavt som 40, men det er ekstremalavvik. Jeg velger derfor å ta basis i 60-100 intervallet og normalfordeler rundt 80 bpm (beats per minute). Det vil si omtrent 1.33 slag per sekund, eller 0.75s for hele durasjon av et slag, med sammentrekning og pumping til neste slag begynner.

Et problem vi må ta stilling til er at hjertet går gjennom mange forskjellige faser i løpet av et vanlig hjerteslag, og det er dermed veldig vanskelig å definere samtidighet og hva «i takt» egentlig betyr i denne sammenhengen. Er to hjerter «i takt» om de banker innenfor et sekund av hverandre? Er de i takt om det ene trekker seg sammen mens det andre ekspanderer? Hvor presise trenger vi egentlig å være her?


Med utgangspunkt i to personer med identisk puls, virker det naturlig å definere takt som en samtidig «start» på hjerteslaget. Vi kan altså snevre inn definisjonen til at «i takt» krever samtidighet i det elektriske signalet som igangsetter slaget, og at forskjellen mellom disse to må være et så marginalt avvik at vi sliter å skille mellom dem.


Det elektriske signalet som sparker hjertet igang kalles for QRS-komplekset, og antas normalt å vare mellom .06-0.1 sekunder (fra:Wikipedia). For å ha et enkelt tall å forholde oss til tar vi utgangspunkt i medianverdien på 0.08 sekunder.

Hittil har vi altså tatt utgangspunkt i 80 slag i minuttet, hvert med et varighet på 0.75s, og at det initielle kicket har en varighet på 0.08s.

Neste utfordring består av å definere hvor stort det marginale avviket mellom slagene må være for at vi skal klare å skille mellom dem. Her var jeg usikker på hvordan jeg skulle gå frem, så jeg valgte den opplagte løsningen: jeg satte opp to metronomer, og prøvde å finne ut når jeg kunne høre et tydelig avvik i rytme. Dette viste seg å ligge å omtrent \frac{2}{60}-dels forskjell, eller drøye 3% differanse. Ved bruk av metronom kan jeg høre tydelig rytmeforskjell først ved \frac{2}{60} -dels avvik i takt, det vil si avvik på omtrent 3% i rytmen.

Artig nok fant jeg også en artikkel som bekreftet dette resultatet etter klinisk eksperimentering. Centre for History and Analysis of Recorded Music (CHARM) har publisert en artikkel der de har undersøkt Just Noticable Differences (JND), altså hvor mye du kan variere tempo i musikk før lytterne klarer å høre et klart avvik. Som det fremgår av artikkelen:
… if you increase the tempo by 3% each beat, a person (at least the one who took the test) can perceive the acceleration in tempo. If the tempo is changed by 1% for each beat, then a tempo will not be perceptible until at least 5 beats (including the ones used to define the starting tempo).
                                                                                                  –Mazurka.org

Artikkelen bekrefter altså at et 3% avvik i tempo er et merkbart avvik. Vi benytter derfor dette som målet vårt for samtidighet i rytme. Et hjerteslag vurderes altså for anledningen å være «i takt» med et annet dersom det er startet før eller etter 3% av hjerteslagsimpulsen (QRS) til et annet hjerte, altså pluss/minus omtrent to og et halvt millisekund. Mitt og et annet hjerte er dermed tilnærmet lik i takt om det andre hjertet fyrer impuls 2.5 millisekund før eller etter mitt.

Vi har dermed et intervall på omtrent 5 millisekunder hvor to hjerter kan vurderes for å være i takt, ut av en total varighet på 0.75 sekund. Det er omtrent 0.66% av varigheten, eller \frac{1}{150}-del av den totale perioden. Det vil si at du statistisk kan forvente å finne noen med samme hjerterytme som deg selv en gang i en gruppe på 150, gitt forutsetningene vi har lagt til grunn. Dette er dog bare sannsynligheten for at noen deler rytme med deg. Hva er sannsynligheten for at to tilfeldige personer i et rom deler takt?

Dette problemet er i seg selv et artig problem, for det ligner mye på det såkalte bursdagsproblemet. I bursdagsproblemet forsøker man å finne hvor mange personer som må være i et rom for at det skal være 50% sjanse for at to deler samme bursdag. Det logiske og enkleste utgangspunktet er at det ved 366 personer i et rom må være 100% sjanse for at noen  deler bursdag, men interessant nok viser det seg at det kun kreves 23 personer for 50% sannsynlighet, og at det ved 70 personer er 99% sannsynlighet for at to personer deler bursdag.

Dette er fordi hver eneste nye person i rommet må sammenlignes opp mot alle som allerede er i rommet. Det holder ikke at den nye personen ikke deler bursdag med deg, vedkommende kan heller ikke dele bursdag med noen andre som er i rommet.

Løsningen tar altså utgangspunkt i at det er en like stor sjanse for at noen har bursdag på hver av årets dager (det finnes noen klyngedannelser for bursdager, men de regnes ikke som signifikante nok til å ha særlig effekt på resultatet).
Vi definerer at P(A) er sannsynligheten for at to personer deler bursdag, og at P(A') er sannsynligheten for at ingen to personer deler samme bursdag. Da fremgår det logisk nok at P(A) = 1 - P(A'). Vi kan altså like greit se på når sannsynligheten for at ingen to personer har samme bursdag dypper under 50%, ettersom at dette vil tilsvare at sannsynligheten for at to personer har samme bursdag overstiger 50%.


Den første personen har en \frac{365}{365}-dels sjanse for å ikke ha bursdag samme dag som noen andre, ettersom at det ikke er noen andre å dele med. Personen kan altså ha bursdag en hvilken som helst dag. Person 2 kan ha bursdag alle dager utenom den person 1 har, det vil si: \frac{364}{365}.

Sannsynligheten for de to personene ikke har samme bursdag er da \frac{365}{365}*\frac{364}{365} = 0.9972

Den tredje personen kan hverken dele bursdag med person 1 eller person 2, og kan dermed bare velge blant de 363 resterende dagene. Den kumulative sannsynligheten for at ingen deler bursdag faller altså til  \frac{365}{365}*\frac{365}{365}*\frac{363}{365} = 0.9918

Slik kan vi fortsette helt til vi kommer til den 23. personen. Da vil sannsynligheten for at ingen to personer deler bursdag være:
\frac{365}{365}*\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*...*\frac{343}{365} = \frac{1}{365}^{23} * (365*364*363*...*343) \approx 0.4927


Vi kan benytte en helt identisk tilnærming når vi vurderer sannsynligheten for at to personer har samstemte hjerteslag. Med utgangspunkt i mulighetsintervallet på 5 millisekunder, eller \frac{1}{150}-del av tiden ved et vanlig hjerteslag, kan vi vurdere hvor mange personer som skal til før sannsynligheten for at to hjerter banker likt overstiger 50%.

Vi tar igjen utgangspunkt i at en person kan ha en hjerteimpuls som fyrer på et vilkårlig tidspunkt. Neste person i rommet vil da ha \frac{149}{150}-dels sjanse for at hjertet fyrer QRS-periode som ikke skal falle innenfor 2.5 millisekunder før eller etter den første personens impuls. Den tredje person har tilsvarende \frac{148}{150} i mulighetsrom. Den kumulative sannsynligheten for at det ikke er noen som deler impulsperiode innenfor det marginale avviket på 5 millisekunder er helt tilsvarende det vi hadde tidligere; \frac{150}{150}* \frac{149}{150}* \frac{148}{150} \approx 0.98.

Hvor mange personer må det være i rommet før det er en 50% sjanse for at to impulser faller innenfor samme 5 millisekunders intervall?
Svaret viser seg å være lavt, allerede ved 15 personer har vi krysset 50%-grensen:
\frac{150}{150}*\frac{149}{150}*...*\frac{136}{150} \approx = 0.4849
Det skal altså ikke mer enn 15 personer til i et rom før det er 50% sjanse for at to av hjertene slår i takt, gitt de forutsetningene vi har til grunn.

Den magiske 99%-grensa krysses ved 37 personer.
\frac{150}{150}*\frac{149}{150}*...*\frac{114}{150} \approx = 0.0078
Med 37 personer eller mer er det altså mer enn 99% sjanse for at minst to hjerter slår i takt.

Den kumulative sannsynlighetsfordelingen ser ut som følger:
kumulativ-synkronisering

Det må nevnes at dette, i likhet med de fleste postene på denne siden, er en forenkling av virkeligheten. Vi har her tatt utgangspunktet i en felles, fast puls på 80 bpm, men dette er jo langt fra noen selvfølgelighet. I den virkelige verden vil vi forvente å møte personer med rytme fra 60 til 120 slag per minutt, og følgelig vil tilfellene hvor slagene er i takt være langt sjeldnere. Ikke bare kan vi forvente et stort spenn, men fordelingen av disse rytmene vil også være en kontinuerlig, ikke diskré, fordeling. Vi kan altså forvente å finne individer med puls på 74.67 bpm, 74.68 bpm, 74.69 bpm, osv.

Samtidig vil man også kunne finne tilfeller der to personer slår i i takt, men ikke nødvendigvis har samme hjerterytme. Hvis en person har en puls på 60, og en annen 120 vil annenhvert slag kunne slå samtidig, noe som må vurderes for å være i takt. En person med puls på 100 og en med puls på 60 vil også kunne vente å oppleve at enkelte slag er synkroniserte, selvom den helhetlige takten uteblir.

Om ikke noe annet må det kunne sies å være et poetisk element i nettopp det, for selv om du med over 7 milliarder andre mennesker er garantert at noen har et hjerte som slår i takt med ditt, vil det være langt vanligere at du møter personer hvor enkelte slag støtt og stadig er synkroniserte. Som alt i alt er en ganske god oppsummering av det hele.

Idéen om sjelevenner, to personer hvis hjerter banker som ett, er altså ikke en matematisk umulighet – bare en sjeldenhet forutsatt en homogen puls. Kanskje ikke like romantisk, men hey – det er noe?

Studentenes timelønn

Et problem jeg støter på overraskende ofte når jeg sitter og doodler meg gjennom disse innleggene er verdiskapningen knyttet til studenter. Jeg er en student, og dermed er det ofte naturlig at jeg benytter megselv som eksempel i innleggene. Men når man regner verdiskapning som tapt eller vunnet verdi av en gitt timelønn sliter jeg plutselig litt. For på snitt går det greit, på snitt går alt greit, men helt realistisk:

Jeg har ingen timelønn.

Det er ikke helt sant. Jeg har en deltidsjobb som jeg faller innom på uregelmessig basis, men i det store og det hele, iløpet av studiehverdagen min, har jeg ingen timelønn.

Eller har jeg det?

Hvis vi ser på et problem der vi vurderer hvor mye penger jeg kan bruke, et konsum- eller budsjettsproblem, går det ganske greit. Jeg lever jo på et studielån. Jeg mottar omtrent 100.000 i året, og det er dermed mulig for meg å regne dette som en lønn fordelt utover hver måned. Dermed kan jeg vite hvor mye jeg kan bruke. Men skal vi regne på sikt er jo -ikke dette en lønn, det er et lån som skal tilbakebetales.

Jeg har dermed lyst til å forsøke å beregne en gjennomsnittlig timeslønn for en (gjennomsnittlig) student. Tanken min er som følger; en person som ikke tar høyere utdannelse kan antas å ha 13 års skolegang, ut VGS, før de hopper rett i arbeid som 19-åring. En person med en bachelor- eller mastergrad vil (forhåpentligvis) hoppe ut i arbeidslivet som 22/24-åring. Det er ingen hemmelighet at personer med høyere utdanning ofte mottar høyere lønn. Et aktuelt spørsmål er dermed hvor mye mer studentene tjener som følge av utdanningen.

Dette skal være ganske simpelt egentlig – Norge har god lønnsstatistikk, så det vi trenger å gjøre er å finne den gjennomsnittlige lønnen for en som har fullført høyere utdanning, og sammenligne den med den gjennomsnittlige lønnen for en som har hoppet rett ut i arbeidslivet.

Det første vi gjør er enkelt og greit; vi finner lønnsstatistikk for ulike utdanningsnivå hos SSB:

Gjennomsnittlig månedslønn etter utdanningsnivå

Kilde: SSB.no

Vi ser at for personer som har fullført kun grunnskole ligger snittlønnen per måned på 33.700, eller en årslønn på 370.000 (11 månedslønner), før feriepenger o.l. Fullfører man VGS øker årslønnen på snitt til 452.000, rett under landssnittet på omtrent 470.000. Ett til fire år med universitets- og høyskoleutdanning øker lønnen til 521.400, og med mer en fire år høyere utdanning er man på 652.300.

Så begynner moroa. Vi kan nemlig ikke bare se på differansen mellom disse helt uten videre. Vi har jo allerede konkludert med at en som går rett ut i arbeidslivet i en alder av 19 vil kunne jobbe lenger enn en som bruker 3-5 år på en bachelor- eller mastergrad.

Noen antagelser

Vi ser vekk fra feriepenger o.l, og vi antar at lønna er konstant gjennom hele arbeidslivet. Det vil si at man starter med full gjennomsnittslønn, men man får aldri noen lønnsheving iløpet av karrieren.  Vi antar også at alle jobber fra de er ferdig med studiet, og t.o.m fylte 67. år.  Videre ser vi vekk fra rente. Dette er en stor forenkling, men vi begrunner den simpelt – vi antar at alle bruker alt de tjener av penger hvert år – og dermed ikke sparer opp noe over tid som det kan rentes på. Dermed er det også greit å ikke anta noen forskjell i inntekt over tid, siden det vil være snittet som teller, og ikke fordelingen (da det ikke er noen renteeffekter å hente ut uansett.) Vi antar at en bachelorgrad er standardisert til 3 år med studier, og en mastergrad standardisert til 5 år – og at studiene fullføres på normert tid.

For en som går rett ut i jobb etter VGS har vi altså 48 år i arbeid (19-67), med en snittlønn på 452.000; en livstidsinntekt på 21.696.000, eller drøye 22 millioner kroner. Med en bachelorgrad kan man forvente 45 år i arbeid, og en mastergrad 43 år, med livstidsinntekter på henholdsvis 23.463.000 og 28.048.900.

Vi ser altså at bachelorstudenter tjener 1.767.000 mer enn en som hopper rett ut i arbeid etter VGS, mens masterstudenten sitter igjen med 6.352.900 mer.

En artig digresjon:

livstidsinntekt

Vi ser at masterstudenten tar igjen VGS i det 17. året, dvs. etter 12 år i arbeidslivet, mens bachelorstudenten ikke gjør dette før det 23. året – 20 år etter endt utdanning. Frem til man er 36 er det altså like godt å ha droppet høyere utdanning, og dette gjelder frem til alder av 42 sammenlignet med bachelorstudenten. Etter det derimot blir forskjellene stadig større.

Definisjonen på en fulltidsstudent er en som tar 30 studiepoeng iløpet av et semester, men dette sier ingenting om antall arbeidstimer som må legges ned – noen jobber mer enn andre. Vi kan dermed ta et (muligens noe urealistisk) utgangspunkt i at en fulltidsstudent lever opp til arbeidsmengden til en heltidsansatt, med 1750 arbeidstimer i året. Isåfall består en bachelorgrad av 5250 studietimer, og en mastergrad av 8750. Om vi dermed tar merverdien av hvert av studiene på livstidsinntekt, og deler det på antall arbeidstimer får vi en gjennomsnittlig timelønn på 336.50,- for en bachelorstudent, og 726,- for en masterstudent. Dette er interessant – den implisitte timeslønnen for en student er betydelig høyere enn den faktiske timeslønnen etter et endt studie: 297,- for en med 3 år studier,  og 372,- for 5 år.

Dette reflekterer vel bare at kunnskap er verdifullt. 

Det må sies at i statistikken skilles det ikke mellom hva slags bachelor- eller mastergrad man innehar. Noen studier vil resultere i en høyere lønn, andre i lavere. Det skilles heller ikke mellom snittkarakterer, A-studenter kan rimlig antas å oppnå en høyere lønn enn D-studenter. Dette er dermed snittverdien for snittstudenten.

Hva så med studielån? Jeg nevnte tidligere i innlegget at dette ikke kan ansees for inntekt. Det må da påvirke tallene?

Ikke egentlig. Om vi, tro til forutsetningene, ignorer rente vil lånet per definisjon ikke har noen langsiktig effekt. Lånet på 300.000-500.000 betales tilbake i sin helhet, men har ingen ytterligere effekt – det er dermed kun en intertemporær forflytning av inntekt hvor staten tilbyr penger i en periode der timeslønnen kun er implisitt, og ikke eksplisitt. Selvom man inkluderer rente er rentenivået såpass lavt, og studielån såpass gunstig, at det har liten reell effekt. Ønsker man absolutt å inkludere det kan man eventuelt flytte kurvene marginalt ned i de første 20 årene, tilsvarende lik betalingene på lånet – eller så kan vi se for oss man ‘ikke mottar lønn’ det første året i jobb – men at alt av lønn heller går til nedbetaling av lånet. Forskjellen er liten sett i det lange løp.

Hva skal man så gjøre med de ekstra pengene man får ut av et studie?

For bachelorstudenten kan det nevnes at det tilsvarer at man sitter med omtrent 1613,- om dagen, om man sprer det perfekt utover året – og masterstudenten 3481,-

Det tilsvarer henholdsvis 250 og 535 pakker nudler om dagen om man kjøper dem til 6.50 på Rema. Alternativt åpner det for nærmere 62 halvlitere på Samfundet per dag for masterstudenten. Velger man det alternativet kan det dog bare holde på i omtrent 450 dager før resten av pengene må settes av til levertransplantasjonen. (Hentet herifra)

PS: Litt om å vente.

Hvor sent kan man vente

Denne frustrerte meg litt. Det koker jo ned til hvor lenge det kreves at du jobber med lønnen du oppnår etter endt studie, når du tar hensyn til at de årene det tok å studere alternativt kunne blitt benyttet til lønnet arbeid. Men du må også tenke på lønnen du taper de årene du jobber for å ta igjen lønna du tapte.

Altså: 3-årig bachelor kunne alternativt blitt benyttet til å håve inn 452.000 i året, noe som summerer til 1.356.000. Dermed kreves det 2.6 år med bachelor-lønn for å dekke den tapte kostnaden ved studie. Men de 2.6 årene kunne igjen blitt benyttet til å tjene penger som ikke skulle dekke inn et tap. Det tilsvarer dermed ytterligere 2.25 år med bachelor-lønn for å hente inn. Som igjen krever ytterligere 1.95 år med arbeid. Og slik fortsetter det…

Argumentet kan forenkles; hvert år med bachelorlønn har en merverdi på 521.400 – 452.000 = 69.400. Ergo krever den totale summen 1.356.000/69.400 = 19.5 år med arbeidsliv.

Limer vi disse verdiene inn i i Excel-arket fra tidligere får vi altså 25 år med arbeid (19 til 44), før det er 3 år med ingen inntekt. Her studerer man (44-46), før man igjen begynner i jobb med høyere lønn i 20 år (47-67). Da rekker man akkurat å ta igjen den samme inntekten som en VGS-elev oppnår.

For at det skal lønne seg må man altså begynne som 44-åring.

studier som 44

 

For mastergrad blir det tilsvarende fem år som kunne blitt benyttet til å tjene 2.260 mill. Merverdien av mastergradslønnen er 200.300 per år, og man trenger altså 11.28 ~ 12 år i arbeidslivet.

Altså må studiestart være som 51-åring

student som 51

PPS: Litt om renter.

Jeg fikk et spørsmål om i hvilken grad renteeffekter vil slå ut på resultatet. Renteeffekter vil redusere forskjellen mellom VGS, Bachelor og Master, da personen som blir først ferdig vil oppnå flere år med forrentning. Det er likevel en såpass stor forskjell mellom bachelor- og master-inntekt at denne alltid vil lønne seg.

3% rente

Grafen over viser utviklingen i inntekt ved 3% forrentning per år. Vi ser at tendensene fra tidligere opprettholdes, men at differansene reduseres. I dette scenarioet sitter bachelorstudenten kun igjen med 2.4% mer enn VGS-eleven, ned fra 8.1%.

Det finnes dermed et rentenivå hvilket gir at VGS studenten tjener opp et så stort forsprang iløpet av de tre første årene, at bachelorstudenten akkurat klarer å ta igjen vedkommende ved et fullt arbeidsliv. Dette viser seg å være 4.18%

4.18% rente

Tilsvarende finnes det et rentenivå hvilket gir at VGS-studenten tjener opp nok iløpet av de fem første årene til å at masterstudenten akkurat klarer å ta igjen iløpet av et fullt arbeidsliv. Dette viser seg å være 7.3%

7.3% rente.png

For alle rentenivå over 7.3% vil det dermed lønne seg å droppe utdanning, og komme fortest mulig igang, da renteeffektene så dominerer inntektseffektene.

Vi er ganske langt unna den situasjonen i Norge idag:

rente sparing

Hvor lenge kan du holde igjen bussen?

Okai, så klokka har nettopp bikket over tre på ettermiddagen. Du vet at du ikke egentlig burde reise fra lesesalen før den har passert fire, men samtidig er det ikke som du kommer til å få gjort noe mer arbeid idag. Så du pakker sekken og vandrer avgårde mot bussen. Så skjer det som alltid skjer. Det skjebnesvangre øyeblikket i det du går ut hovedinngangen og ser at bussen står på holdeplassen nede ved veien. Skal du løpe og veive vilt med armene i et håp om at sjaføren leser din gestikulerte bønn og venter, eller vandre sakte og rolig ettersom at du uansett ikke kommer til å rekke den?

Løsningen for mange av studentene ved NTNU Dragvoll ser ut til å bestå av å komme seg fortest mulig ned til veien og foran bussen slik at den ikke kan kjøre. Det har seg nemlig slik at fotgjengerovergangen fra hovedinngangen er plassert omtrent 20m foran bussholdeplassen.  En effektiv løsning, om dog en noe frustrerende en. Hvor lenge kan du legitimt forsinke bussen på denne måten?

Her kan det fort bli aktuelt å se på køprising. Køprising er et tema som er hyppig oppe i den offentlige debatten. Debatten omhandler at kø er en byrde som påfører alle brukere av veien en kostnad. Tanken ved køprising er å tvinge brukerne av veien til å betale for den kostnaden de er med på å påføre alle andre brukerne av veien. Men før man kan fastsette dette beløpet er man nødt til å kunne beregne den faktiske kostnaden av å stå i kø. Så hvordan gjør man det?

Den enkleste måten å tenke på køprising er at kostnaden er lik den tapte verdiskapning som følge av køen. Alle ingeniørene som sitter i trafikk kunne istedet sittet på kontoret og skapt verdier. Hvis 20 personer med 200 kroner timelønn blir sittende i kø i en time har man altså tapt 20*200 = 4000 kroner på en times kø . Dette er dermed en måte å beregne både gevinst og kostnad ved veier. Om man bygger en sikrere motorvei som tillater en økning i fartsgrensen fra 70km/t til 90km/t vil hver bruker av den nye veien spare tid ved at de kommer raskere frem. Over hundretusenvis eller millioner av personer som reiser på veien, over ti-talls år, blir denne effekten veldig fort veldig vesentlig. Derfor er oppgradering av veier og lignende transport-infrastruktur ofte høyt prioriterte offentlige prosjekt.

Dette betyr også at forsinkelser på bussen medfører en kostnad for alle brukerne av bussen. Om jeg for eksempel kommer løpende og holder igjen bussen i ti sekunder tenker jeg ikke så mye over det – men effekten må summeres opp over alle de andre i bussen. De vanlige AtB-bussene i Trondheim har en standard kapasitet på 49 sitteplasser, og omtrent tilsvarende like ståplasser. Nå er det mange busser som kjører i Trondheimsområdet, og mens noen er stappfulle (virker hvertfall sånn hver gang jeg hopper på bussen) er det også tilsvarende mange som er tilnærmet tomme. Dermed kan vi ta utgangspunkt i en halvfull buss, på omtrent 50 personer.

Det vil si at om jeg kommer løpende fra lesesalen og holder igjen bussen med ti sekunder er det i praksis 500 sekunder som går tapt bare for at jeg skal rekke den bussen. Det betyr at for at det skal være en positiv nettoeffekt må det at jeg holder bussen i ti sekunder resultere i en gevinst på 500 eller mer sekunder for min del – noe som godt kan tenkes om det er femten minutter mellom hver buss som går. (Det kreves og at jeg er fullstendig effektiv med tiden min når jeg ikke er på bussen. Som om).

Det er dermed interessant å ta en vurdering på hvor lenge man kan holde igjen bussen for at det skal kunne fremdeles ha en nettoeffekt.

Vi legger til grunn noen forutsetninger:

  1. Når jeg nå regner tapt tid regner jeg kun i den tapte tiden for de personene som allerede sitter ombord i bussen. Den tar ikke hensyn til  alle som er down-stream – det vil si de som står og venter på bussen om 3, 4 og 5 stopp. Dette er et vanskeligere hensyn å ta. For det første vil en forsinkelse påvirke dem forskjellige med tanke på hvor langt de skal reise totalt, og det er vanskelig å si at reisetiden er den samme uansett. Kanskje vil sjaføren bli stressa om jeg holder den igjen, og dermed kjøre raskere. Kanskje han unngår, eller blir fanget i, en kø han ellers ikke hadde blitt påvirket av. Jeg er lat og ignorerer dette. Jeg vurderer det som at bussen er allerede halvfull i det jeg går på – og at alle skal reise minst like langt som jeg skal.
  2. Sjaføren kjører helt identisk uansett av hvor forsinket han blir;  vi antar en fullstendig uniform reisetid uansett tidspunkt man reiser på.
  3. Alle er perfekt effektiv i alternativ anvendelse av tiden deres. Hvis dette ikke holder må man plutselig begynne å begrunne om to minutter spart for meg tilsvarer den samme nytten som du nyter av to minutter. Det blir fort vanskelig.

Okai, så tilbake til problemet. Hvor lenge kan jeg holde igjen bussen for at det fremdeles skal være en nettogevinst? Svaret på dette vil åpenbart avhenge av hvor mange personer som sitter på bussen. Er du den eneste kan du teoretisk sett holde igjen bussen i et kvarter – etter dette kan du jo like greit ta neste buss. Sjaføren kjører jo uansett, og vi ser bort ifra andre passassjerer som reiser fra et senere stopp. Dermed vil det eneste aggregerte tapet være det som du selv påføres ved å holde igjen bussen.

For hver ekstra person som sitter på bussen må nettoverdien av min tidsgevinst fremdeles veie opp for økning i tapt verdiskapning. Det vil si at fortjenesten (de minuttene jeg slipper å benytte på å vente på neste buss) må overstige den aggregerte effekten av alle som er ombord (igjen, forutsatt perfekt alternativ anvendelse av tiden.) Det vil si at om vi forventer at alle busser kommer presist hvert 15. minutt (nok en usannsynlig antagelse) kan vi se på det som at min mulighet til å holde igjen bussen sparer meg for 900 sekunder ventetid på neste buss.

Om vi går utifra at det er 50 personer i bussen, og at det er 900 sekunder til neste buss, kan jeg altså legitimt begrunne å holde bussen igjen i 18 sekunder. Holder jeg bussen i mer enn dette øker kostnaden for alle andre ombord i  bussen mer enn tidsgevinsten min gjør, og vice versa. Holder jeg bussen i ti sekunder sparer jeg 900 sekunder på en 500 sekunders bekostning for de ombord, og nettogevinst er altså positiv; 400 sekunder. Holder jeg bussen i 20, sparer jeg 900 sekunder på bekostning av 1000 sekunder. Jeg koster dermed andre mer tid enn jeg tjener inn selv.

Men det er jo ikke alltid at bussen er full. Dermed kan vi få den følgende grafen for alternative scenarioer; fra tom til full buss:

Forsinkelse

Vi finner dermed at dersom det kun er ti personer på bussen kan du holde den igjen i opptil 90 sekunder med god samvittighet. Er bussen stappfull kan du fremdeles holde den i 9 sekunder for å oppnå nøytral gevinst, altså at din gevinst perfekt veier opp bussens kollektive tap.

Dette er ikke nødvendigvis resultatet jeg ønsket å finne, men data er data. Det er dog verdt å nevne at om man skal være mer realistisk og inkludere alle som står på senere stopp, blir det opplagt at forsinkelseskvoten blir betydelig mindre. Vi kan regne med at bussen tømmes og fylles fullstendig minst en gang iløpet av en hel tur – og dermed har vi i realiteten at kvoten kan være nede i 4.5 sekund ved stappfull buss.

Det er også sånn at dersom vi regner tapt verdiskapning er ikke alles tid like mye verdt. Om det sitter en konsulent med mange hundre kroner i timelønn, vil det tapet som påføres være større enn gevinsten en student oppnår. Studenter har jo betydelig lavere implisitt timelønn.

… Men hva er egentlig timelønnen til en student?

The New York City Police Officer Problem

Som et ledd i juleferien min befant jeg meg for et par dager siden på Newark flyplass. En av de første tingene som slo meg i det jeg vandret gjennom terminalen var den enorme mengden med politi tilstede. Det er uvant å se politi vandre rundt i så stort antall i Norge.

En artig detalj med amerikanske politimenn er at de alle går rundt med hvert sitt skilt med deres personlige nummer, såkalt «Badge Number». Dette nummeret er individuelt for hver konstabel, og kan brukes for å identifisere konstabelen i etterkant, dersom man f.eks har en klage. De fleste av oss kjenner til disse fra filmer eller tv-serier – skiltene er sølvfargede, støpt av metall og ser sånn ca. sånn her ut …

NYPD badge

… med små variasjoner i design avhengig av hvilken gren av politiet man er del av, og hvilken rang man har.

Politiet på flyplassterminalen var New York-politi, med logo og bilde av byen stolt vist frem på uniformen. Dette fikk meg til å lure; om New York-politiet også dekker flyplassene i New York, som tross alt ligger i nabostaten New Jersey, trenger de mange konstabler. Hvor mange politimenn finnes det egentlig i New York-politiet? Kan vi estimere det basert på skiltnummerne vi observerer?

Iløpet av gåturen min fikk jeg notert meg skiltnummeret til to konstabler som sto og drakk kaffe; henholdsvis 34440 og 45234. Hva sier dette oss om antallet politikonstabler?  Først og fremst, at det finnes minst to.

Videre kan vi anta at det finnes minst 10.000, differansen mellom det høyeste og laveste tallet vi har observert. Hvorfor ikke bare anta minst 45.000, spør du? Fordi vi har ingen anelse om hvorvidt alle nummerne er i bruk, det kan være at det finnes 30.000 pensjonerte politikonstabler med hvert sitt skilt.

Begynner vi å betvile systematiseringen av nummerne på denne måten er vi plutselig på dypt vann. Vi vet faktisk ikke en rekke ting; hvorvidt alle nummerne er i bruk, hvorvidt nummerne fordeles i strengt stigende rekkefølge (hva om de er tilfeldige?) eller hvorvidt nummerne i seg selv inneholder et internt system, f.eks at alle nummere som starter med 30 hører til på Manhattan.

Denne siste vurderingen virker usannsynlig – da ville vi ikke forventet å finne to konstabler med ulike startsiffere på samme flyplass. Siden ingen av sifferne på de to konstablene stemmer overens er det dermed lite som tyder på internt system i nummereringen på basis av geografisk plassering. Det er hvertfall en start.

Vi har dermed to holdepunkt:

  1. Vi vet at alle nummerne er unike til en politikonstabel. Hvis ikke hadde poenget med nummereringen forsvunnet.
  2. Vi har observert to konstabler med nummer 34440 og 45234.

For å komme videre gjør vi noen grunnleggende antagelser.

  1. Vi antar at nummerne ikke er tilfeldig fordelt, men heller deles ut sekvensielt. Det vil si at hver ny konstabel mottar et nummer høyere enn forrigemann.
  2. Vi antar at konstabler som trer ut av styrken må levere inn skiltet sitt (som ofte dramatisert på tv), og at dette resirkuleres. Skiltnummerne vil dermed tilsvare mengden aktive politikonstabler i styrken.
  3. Vi antar at nummerne ikke inneholder noen form for internt system (geografiske restriksjoner, sjekksummer eller lignende) som vil stride med den tilsynelatende tilfeldige, sekvensielle fordelingen av skiltnummer på tvers av byen ellers. Dette er strengt tatt ikke en nødvendig forutsetning – men den skader ikke for å sikre oss.

Med disse restriksjonene på plass kan vi nå begynne å estimere hvor mange politimenn det er. Vi har altså observert 34440 og 45234. Med antagelsene gitt over kan vi nå estimere at det må være omtrent 80.000 politimenn i New York. Hvordan da?

Vi ser på den totale mengden med politimenn i New York som en samlet populasjon vi trekker tilfeldige utvalg fra (eller tilfeldig observerer med kaffekoppen i hånd). Siden nummerne er sekvensielle fra 1 til maksimalt skiltnummer kan vi dermed vite at snittet av populasjonen vil være lik medianen, og representere den midterste politimannen i styrken. Antall politimenn i New York vil dermed tilsvare to ganger snittverdien av et utvalg som tilnærmer seg uendelig, eller i dette tilfellet, et utvalg som tilnærmer seg den samlede populasjonen vi trekker utvalgene fra. Vi kan dermed estimere (34440+45234) = 79.764 politimenn.

Problemet med dette er selvfølgelig at vi har et forferdelig lite utvalg. Det kan dermed hende at det kun eksisterer 45.500 politimenn, men at vi var uheldige nok til å trekke to tall høyt over snittet. Eller det kan tenkes at det eksisterer 120.000 politimenn, og at observasjonene våre uheldigvis ligger under det reelle snittet. Den eneste måten vi kan forbedre estimasjonen vår er ved å utvide antall observasjoner.

Jeg jaktet videre på politimenn fra New York-styrken, men sine egne skiltnummer. På turen min oppfaget jeg raskt at det også fantes en annen lokal politistyrke, Port Authority, som hadde betydelig lavere skiltnummer på rundt 1000-2000. Disse valgte jeg å ignorere, det var New York-politiet jeg ville finne ut av.

I den ene bokhandelen, med dagens avis i hånden oppdaget jeg en ny konstabel – #15782. Snittet mitt var dermed redusert til omtrent 32.000. På vei tilbake forbi de første to konstablene oppdaget jeg nå en ny, tredje konstabel – #20743; nytt snitt: 29.000

Så, i det vi vandret til gaten for å boarde flyet, fikk jeg øye på min siste politikonstabel, #8372, og med det var mitt endelige snitt 24.932, og det påfølgende estimatet for antall politikonstabler i New York; omtrent 50.000 stk.

Så, hvordan sammenligner dette med det virkelige antallet? Jeg ville anta at estimatat mitt er litt høyt; jeg er vant til å tenke at det er omtrentlig 2 politimenn per 1000 innbyggere – som er gjennomsnittet for Norge. Estimatet jeg her har kommet frem til estimerer nesten tredobbelt av det, med 5.8 politimenn per 1000 New Yorkere. Det er kjent at New York har usedvanlig mange politimenn iforhold til innbyggere, men tredobbelt av vanlig størrelse virker i overkant mye. Jeg ville heller estimert omtrent halvannen gang så mye, altså 3-3.5 per 1000.

Ifølge NYPD selv har de omtrent 40.000 politimenn, som tilsvarer 4.7 politimenn per 1000. Med utgangspunkt i kun 5 observasjoner jeg ganske fornøyd med estimatet på 50.000 – det ligger forholdsvis nærme. Hadde jeg kun gjettet, basert på 3 per 1000-antagelsen, ville tilsvart en estimert politistyrke på 25.500, halvannen gang så feilaktig som utvalgsestimatet mitt.

Denne typen problemstilling er forholdsvis kjent innenfor statistikk, og går under navnet «The German Tank Problem». Under andre verdenskrig ønsket de allierte styrkene å estimere antall tanks tyskerne hadde tilgjengelig – for å kunne bedømme hva slags motstand de kunne forvente seg. Hvordan kunne man best mulig gjøre dette? Løsningen var ganske enkel – de tyske produsentene av tanks hadde, i ekte tysk ingeniørånd, merket alle delene av stridsvognene de bygget med serienummer, fordelt sekvensielt etterhvert som nye tanks ble produsert. Det betød at hver gang de allierte styrkene fanget eller ødela en tysk tanks kunne de notere seg serienummerne, regne snittet på ny, og estimere en ny størrelse på det totale antallet tanks. Etterhvert som flere og flere tanks ble tatt ut av spill ble estimatet mer og mer presist. Resultatet for produksjonen av amerikanske stridsvogner var også ganske umiddelbar – alle serienummer i amerikanske tanks ble randomiserte. Slik kunne man forhindre at tyskerne vendte statistikken tilbake mot dem.

 

Hvor rike er vi egentlig?

«Hva? Det går ikke ann! Også i verdens riskeste land!?»

Det er ikke sjeldent at nasjonalformuen vår trekkes frem. Enten det er manglende kvalitet på offentlige tilbud, eller et lettet sukk over hvor godt vi har det mens vi sitter med café latte på bryggekanten. Men hvor rike er vi egentlig?

Om du er en fast leser tenker du kanskje «Ånei, nå skal Martin trekke frem oljefondet igjen. Get over it?» Slapp av. Ja, det er sant at vi har oljefondet, og at det er vanvittig stort (se bare her). Men dette innlegget skal ikke handle like mye om hvor rike vi er, som hvordan vi er rike.

Norge scorer gang på gang i toppsiktet av Human Development Index. Vi ligger blant de øverste landene i verdiskapning per innbygger og har gjentatte ganger blitt kåret verdens beste land å bo i. Og samtidig  er ting langt fra perfekt – vi har smale veier, vi klager på fulle busser og trikker, på lange sykehuskøer og manglende plasser i eldreomsorgen. Hvordan kan det ha seg at vi har det så godt, og fremdeles mangler så mye?

New York Times publiserte i 2005 en artikkel der de hevdet at Norge ikke kan være spesielt rikt. For i Norge er det dårlig utvalg av bøker på bibliotekene, vi har hullete veier, og mens arbeidere i New York og Paris stikker ut til en lokal deli for en varm lunsj spiser vi matpakker. Hvordan kan et land være rikt om innbyggerne er nødt til å spise matpakker? Utlendinger som kommer til Norge blir overrasket over mangelen på overdådig luksus når de vandrer rundt. Det kryr ikke av italienske sportsbiler, skreddersydde dresser og kabrioleter? Hvor er Rolex og Breitling-klokkene?

Et viktig spørsmål er hvordan vi måler rikdom. Bruttonasjonalprodukt per capita brukes ofte som et vanlig mål på dette. Bruttonasjonalprodukt er, helt enkelt, summen av all verdiskapning i et land over et år.  Alle norske bedrifter og fabrikker, private selskap, statlige og frivillige organisasjoner skaper av verdier. Alle som benytter penger i Norge skaper en verdi for noen – og vi kan i løpet av et år summere alle disse verdiene til total verdiskapning i landet. Når dette deles på innbyggere i landet (per capita) får vi et mål på hvor store verdier vi har produsert per innbygger.

Dette er det økonomer omtaler som BNP per capita. Her ligger Norge på omtrent 613.000 kroner, og er at av de øverste landene på listen.

Dette er dog et veldig dårlig mål på rikdom innad i et land. Det oppgir verdiskapningen, men sier ingenting om fordelingen av verdien innad i dette landet; velstanden. Vi kan rett og slett ikke si hvorvidt alle produserer rundt 600.000, eller om en person alene står for all produksjon i landet (og dermed trekker snittet opp for alle andre.) Landets totale rikdom er upåvirket av fordelingen – hvorvidt en person sitter med alle pengene eller om det er jevnt fordelt spiller ingen rolle. Men det gjør det jo for oss. Vi ønsker å finne hvordan velstanden er i landet, vi er interessert i å finne hvor rike folk flest er.

En kort digresjon begrensning av variable, og forståelse av snitt

Formue er en interessant variabel. Mange størrelser i verden er naturlig fordelt og begrenset i sin skala –  formue er ikke en av dem. Det er lett å tenke at høy snittformue tilsier at folk er rike i et land, men formue er en av de variablene i samfunnet som ofte er veldig skjevt fordelt. Formue følger ikke en naturlig normalfordeling, og enkelte observasjoner kan lett føre til stor skjevhet i snittet.

Et tankeeksperiment:

Still 10 personer på rad, og mål høyden deres. Vi finner kanskje et snitt på 1.75m, noe som virker ganske riktig. For hver person vi finner som er 2m, finner vi tilsvarende også en person som er 1.50m. Hvis vi øker antall personer til 1000, vil vi være enda nærmere det sanne snittet. Ekstreme observasjoner, som en person på 2.20m, vil dra opp snittet med knappe 2.2 millimeter.

La oss nå gjenta det samme eksperimentet, men denne gangen måle formuen til personene. En er underbetalt barneskolelærer, en annen en godt betalt petroleumsingeniører, osv. Vi finner snittet for 999 personer på rad. Så legger vi til Bill Gates som person nummer 1000. Med en formue på over 700 milliarder kroner, vil snittet nå plutselig vise en gjennomssnittsformue blant de oppmøtte på over 700 millioner kroner hver, noe som virker litt usannsynlig for barneskolelæreren vår. Selv ikke petroleumsingeniøren virker sannsynlig å ha 700 millioner på bok.

Formue har ingen naturlig begrensning i skala, det er ikke en fysisk verdi – og enkelte observasjoner (sånn som Bill Gates) kan villede hele oppfatningen vår av snittet. Dette er ikke et problem for naturlige begrensede variable, sånn som høyde. Det er fysisk umulig at person nummer 1000 i rekka er 220km høy.

Formue er et eksempel på en variabel som følger Paretoprinsippet, Zipf’s lov, eller «80/20-regelen«. Poenget er skremmende enkelt; for mange fenomen vil omtrent 80% av konsekvensene komme av 20% av hendelsene.

For eksempel vil:

  • 80% av inntektene tilfalle 20% av befolkningen.
  • 80% av salgene komme fra 20% av kundene
  • 80% av verdens netttrafikk gå til 20% av nettsidene
  • 80% av verdiskapning i filmindustrien komme fra 20% av filmene
  • 80% av bruken av det engelske språk benytte bare 20% av ordene

Dette er kjent som potensloven (Power law).

Formue er altså ikke normaltfordelt av natur, så gjennomsnitt av formue i et land er ikke et godt mål på et lands rikdom. Hvertfall ikke alene.

Hvor rike er folk flest?

Det er opplagt at vi trenger mer enn bare snittet for å kunne utrykke oss om folk flest. Vi trenger å vite mer om fordelingen i samfunnet. Innenfor statistikk sies en fordeling å ha fire moment:

  1. Gjennomsnitt
  2. Varians
  3. Skjevhet
  4. Kurtose

Disse fire momentene beskriver hvordan en sannsynlighetsfordeling ser ut.

Varians sier noe om hvor stort avviket er fra snittet kvadrert. Vi bruker dermed ofte standardavvik istedet, som er roten av variansen. Jeg tillater meg å låne fra en av mine egne facebook-statuser:

Innenfor statistikk benyttes standardavvik for å måle hvor langt unna gjennomsnittet dataverdier gjennomsnittlig observeres.

Om en snittverdi er 20 og standardavviket er 5, sier vi ved normalfordeling at 68% av alle observasjoner ligger mellom 15 og 25, +- ett standardavvik.

Tilsvarende vil 95% av alle observasjoner ligge mellom 10 og 30, +- to standardavvik.

99,7% av alle observasjoner vil ligge mellom 5 og 35, +- tre standardavvik. Om du plukker tilfeldige datapunkt vil du kun finne punkt som ligger utenfor [5, 35] 3 av 1000 ganger

Skjevhet og kurtose sier noe om effekten ekstremalverdier har på resten av fordelingen. Jeg skal ikke skrive så mye om disse nå, men heller ta for meg variansen.

Et tankeeksperiment til:

Se for deg at vi stiller opp tre norske og tre amerikanske arbeidere. Begge gruppene består av en sykepleier, en lærer og en tannlege. Den norske sykepleieren tjener 300.000, læreren tjener 400.000 og tannlegen 500.000. Tilsvarende tjener den amerikanske sykepleieren 100.000, læreren 300.000 og tannlegen 700.000. I dette eksperimentet har de norske arbeiderne et snitt på 400.000, og amerikanerne et snitt på 367.000. Vi sier altså at de norske arbeiderne er rikere enn amerikanerne.

Men den best betalte av de norske arbeiderne tjener kun 67% mer enn den med lavest inntekt, mens den amerikanske tannlegen tjener 7 ganger mer enn den amerikanske sykepleieren. Den amerikanske tannlegen kunne jobbet i litt over syv uker og ansatt sykepleieren som sekretær resten av året.  I Norge må tannlegen bruke to-tredeler av året på å betale lønna til sykepleieren.

Her er det opplagt at snitt og varians er to veldige forskjellige ting. De rikeste i Norge er kanskje ikke så mye rikere enn resten, sett med utenlandske øyne, men samtidig har vi også ytterst få som er veldig fattige. Vi har veldig lite sprik i inntekt mellom lønnstakere i Norge. I  NOU 2000:21 «En strategi for sysselsetning og verdiskapning» (må ikke blandes med NOU 2001:20 «Lov om introduksjonsordning for nyankomne innvandrere«, slik jeg gjorde) trekkes det frem at

I Norge tjente lønnstakeren i den øverste desilen (D9) 2 ganger så mye som den personen som bare hadde 10 prosent av lønnstakerne under seg. I Nederland var forholdstallet over 2,5 mens både portugiseren, canadieren og amerikaneren på toppen av lønnspyramiden (D9) tjente mer enn 4 ganger så mye som han, eller kanskje mer sannsynlig hun, som bare har 10 prosent av lønnstakerne under seg. Sammen med Sverige og Danmark er Norge det OECD landet med desidert minst lønnsforskjeller.

Det er nemlig variansen i formue som skiller Norge ut blant mange andre land. For selvom snittet i USA og Norge er relativt likt (omtrent 451.617 og 613.000) er forskjellen mellom fordelingen innad i disse landene stor. I Norge er fordelingen relativt jevn. I USA har vi derimot dette:

Hvorfor tjener norske kelnere så godt?

Norsk arbeidskraft er dyr. Og nesten alt av varer i Norge må på et eller annet tidspunkt behandles av norsk arbeidskraft. Ergo blir de fleste norske varer dyre. Det er en grunn til at italiensk vin og kinesiske replikaer er så billige – fordi lønningene i disse landene er såpass mye lavere. De aller fleste varer er dyre relativt sett, når vi måler prisene i utlandet mot tilsvarende norske priser.

Norge er et kunnskapssamfunn. I det internasjonale markedet har vi spesialisert oss på å produsere dyre, kompliserte ting som krever mye utdanning og kompetanse. Dette er ting vi dermed klarer å tilby på det internasjonale markedet for en billig penge, relativt sett til konkurrenter. Enklere grovarbeid er vi dermed ikke like konkurransedyktige på; med høye norske lønninger er det vanskelig for oss å konkurrere mot andre land. Dermed blir ting som internasjonalt er dyrt, billig i Norge, og ting som er billig internasjonalt blir dyrt.

Det er her skillet mellom konkurranseutsatt-sektor (K-sektor) og skjermet-sektor (S-sektor) kommer på banen. Siden teknologien vi eksporterer er såpass kompleks skaper K-sektor mye verdi målt i dollar for de arbeidstimene som settes inn. Dette tillater K-sektor å betale godt for arbeidskraften, og det vil bli lønnspress mellom bedriftene for å få kvalifisert arbeidskraft. Samtidig konkurrerer K-sektor på det internasjonale markedet, og må dermed ta prisen som bestemmes i dette markedet. Prøver de norske bedriftene å ta høyere lønn enn verdensmarkedsprisen kan man jo alltids finne franske, amerikanske eller koreanske ingeniører som kan gjøre den samme jobben. Eksportindustrien går dermed på en knivsegg mellom fastsatt lav pris, og høye lønninger. De som ikke kan betale høye lønninger får ikke arbeidskraft, men blir de for høye er ikke bedriften lønnsom.

Lønnsveksten i K-sektor velter også over på S-sektor, den skjermede sektoren. Denne sektoren består av alle bedrifter som ikke er utsatt for utenlandsk konkurranse – som frisører, elektrikere og lignende. S-sektor har den fordelen at de ikke konkurrerer på verdensmarkedet, og kan dermed sette prisen selv. Så lønningene kan settes slik at de konkurrerer med K-sektor, og deretter kan bedriftene velte kostnadene sine over på kundene i form av økte priser. Da øker inntektene og utgiftene likt. Det er dermed en tendens til at land med god K-sektor møter høye priser i S-sektor.

Dermed blir det dyrt å kjøpe varer i Norge. For øl serverer ikke seg selv, vaskemaskiner installeres ikke på egenhånd og personlig aner jeg ikke hvordan et kassaapparat fungerer. Og når alternativet er at kelneren, montøren eller butikkarbeideren kunne jobbet i Statoil eller Kongsberg Gruppen må lønnen være høy. Norsk arbeidskraft er godt betalt fordi vi får mye verdi ut av timene – arbeidskraften er dyr fordi den er god.

Dessuten har den norske befolkningene høy betalingsvilje fordi vi har høy betalingsevne. Vi er villig til å betale mye for en øl på Grünerløkka, fordi vi har råd til den. Og vi godtar høye priser lokalt fordi alternativet er verre – en øl på Grünerløkka er likevel billigere enn en tur til München for en billig øl der.

På tvers av daler og fjell

Norge er et langt og utstrakt land. Store deler av verdiskapningen i landet vårt må brukes på å rydde veier, isolere mot kulden og frakte varer langt. Den norske befolkningen bor spredt utover enorme landeområder – noe som koster store summer, til veier, transport, strømnett, sykehus, skoler og mer til.

Innenfor økonomisk teori finnes begrepet stordriftsfordeler. Dette tar for seg at det er billigere å gjøre ting i større skala, en slags kvantumsrabatt. Det er billigere å bo sammen med noen, enn å bo alene – plutselig trenger man bare et bad, et kjøkken, og en tv, istedet for to av alt. Det samme gjelder på landsbasis. Det er billigere å ha mange boende i en stor by med et stort sykehus, en i to byer med hvert sitt sykehus. Det er billigere å bygge bygater i en storby, enn mange bygater i mange små byer, med broer og tunneler som knytter dem sammen.

Men likevel har vi altså distriktspolitikk i Norge – vi tillater oss å benytte store summer på at folk skal ha mulighet til å bo hvor de vil. Vi har ikke høykvalitetsveier som Autobahn i Tyskland – men til gjengjeld har vi veldig mye veier, som snirkler seg over fjell og gjennom daler – som tillater oss å bo hvor vi vil. Vi har små og store sykehus landet igjennom, vi har skoler i småbygder. Vi bruker enorme mengder midler på å opprettholde distrikspolitikken, til tross for at det er dyrere. Vi har tatt oss råd til å bo der vi vil.

Rikdommens bekreftningstendens

Når man vandrer rundt på Manhattan, eller i finanskvartalet i London er det vanskelig å ikke bli blendet av velstanden. Det er dyre biler på veiene, det er få dresser som ikke er skreddersydde og Rolex-klokkene glinser i solen. Men det er viktig å huske at dette ikke er et representativt for landet – de personene man møter på Manhattan er først og fremst de personene som har råd til å bo der. Vi ser ikke de fattige, som er stuet vekk i ghettoer eller campingvogner og som knapt eier noe. I møte med ekstrem velstand har vi lett for å lure oss selv, og anta at det er dette som er standarden. Dette er et eksempel på bekreftningstendens, som blir omtalt i  dette innlegget.

Så når vi er rike i Norge, kan vi si at vi er rike uten å ha mange som er rike. Mens noen i utlandet har 400 kvadratmeter villa med svømmebasseng, og noen knapt har vegger og tak, har de fleste i Norge en bolig av grei standard. Mens noen i utlandet har 4 biler, og andre har ingen har de fleste norske husstander en. Vi har valgt bort den ekstreme luksusen for skole-, helse- og omsorgsordninger, for sykeordninger og svangerskapspermisjoner, for folketrygd og felles fordeling av kaken. Vi har valgt å bo spredt, og reise langt. Vi holder veier over fjellet vinteråpne med brøytebiler, vi bygger broer og tunneler på tvers av daler og fjorder, vi har hytter på fjellet og båter i skjærgården.

Rikdommen vår er ikke alltid like lett å se, for selv de mindre bemidlede går i moteklær, kjører bil og bor i hus. I andre land er de stuet vekk i slummen, med knapt noen midler.

Så når turister kommer på besøk og spør hvor rikdommen er, vet du hva du kan svare: vi er rike samlet sett. Vi har valgt å benytte rikdommen vår utover hele landet, og hele befolkningen.

…Og om det ikke er nok kan du alltids linke dem til Oljefondet.

Blomster-kjær

NRK meldte i starten av juni at Steinkjer Kommune planter en tulipan per innbygger, totalt 21500 tulipaner. Det påpekes i artikkelen at «storbedet ved E6 skal bestandig ha en tulipan til hver steinkjerbygg».

Steinkjer Kommune er en middels stor kommune med 1427 km² med landareal (vannareal er natuligvis litt uinteressant når vi skal regne på tulipanflater. Eller er det egentlig det? Det får forbli en diskusjon for en annen dag.) Med 21650 personer har kommunen dermed en befolkningstetthet på ≈ 15.2 personer per kvadratkilometer.

Spørsmålet mitt er selvfølgelig

Hvor mange innbyggere kan Steinkjer få før den resterende plassen må opptaes av tulipaner?

Det er noen ting vi må legge til grunn før vi kan begynne å regne. Den første er kanskje hvor tett vi er komfortabel med å pakke innbyggerne. Vi kan starte lett med å anta at innbyggerne må være i hele, levende biter. Fordi, eew… 

Vi antar også for komfortens skyld at vi unngår å stable i høyden. Det skal tross alt være en permanent løsning, og personlig blir jeg fort sliten i armene.

Itillegg varierer jo mennesker i dimensjonene våre. For å velge et enkelt og rundt tall som ikke virker for latterlig (sånn hvis vi ser bort fra original-premisset ihvertfall) kan vi anta at en person opptar 1m². Det er trangt, men ikke usannsynlig trangt.

Vi har at

1427 km² = 1.472.000.000 m².

Om vi ignorer smådetaljer som fjelltopper, og personer som får en halv kvadratmeter på henholdsvis topp og bunn av en klippe, er det dermed plass til 1.472 milliarder personer om hver person opptar 1m². Det er litt mer enn hele Kinas befolkning på 1.369.930.000 personer.  (Og du trodde tettheten av japanske turister i Oslo om sommeren var ille?)

Med dette har vi oppnådd en befolkningstetthet på 1.000.000/km², omtrent 65.800 ganger tettere en det din gjennomsnittlige Steinkjer-innboer er vant med.

Men vi har jo glemt et kritisk element, det er jo ikke lenger plass til tulipanene.

Hvis man googler «How many tulip bulbs in a square meter»  får man overraskende gode resultater fra diverse gartnerforum. Det skulle vise seg at tettheten av tulipaner avhenger sterkt av hva slags effekt som er ønsket. Konsensus ser dog ut til å hevde at for «Public Green Space»  så er 40 tulipaner/m² en optimal verdi. Med tanke på at dette er nøyaktig den samme sammenhengen nyhetsartikkelen henviser til, velger jeg å benytte dette estimatet.

Selve utregningen blir relativt enkel, hvis vi lar x betegne antall personer kan vi sette opp likningen

render

siden hver person nå vil oppta 1 og 1/40 kvadratmeter, 1 til seg selv og 1/40 til tulipanen sin.

Dermed får vi at det maks passer 1.436.097.560 personer inn når tulipanene også skal passe. Da vil tulipanene oppta 35.902.439m² og telle akkurat like mange tulipaner som gjenværende kvadratmeter og personer.

Vi kan altså passe hele Kinas befolkning med hver sin tulipan i Steinkjer Kommune.

the_more_you_know_by_stathisnhx-d33639v

… Det er dog mulig at det kreves en noe bred definisjon på «storbedet ved E6.»