Å kjøpe hundrelapper til 148,-/stk.

Den svenske Kronofogdemyndigheten, tilsvarende den norske Namsfogden og Statens Innkrevingssentral, annonserte nylig at de kom til å selge en liten mengde med Bitcoin og Bitcoin Cash gjennom auksjon som følge av et beslag av kryptovalutaene.

Auksjonen ble avholdt på torsdag 19. oktober, og mengdene var på 0,59865078 Bitcoin (BTC) og 0,59865078 Bitcoin cash (BCC), tilsvarende omtrent 29.000 svenske kroner totalt.

Salg av verdipapirer og valuta er relativt enkelt å forholde seg til; dersom noen er villig til å selge meg en hundrelapp er det enkelt for meg å vurdere hvor mye jeg er villig til å betale. Så lenge jeg kan betale mindre enn hundre kroner vil det alltid lønne seg (gitt at det ikke medfølger noen transaksjonskostnader). Dersom selgeren ber om 100 kroner vil jeg være indifferent, jeg vil sitte igjen med akkurat like mye etter kjøpet som jeg gjorde før. Ettersom at jeg er lat, og ikke gidder å handle bare for å handle, vil jeg i et slikt tilfelle ikke være interessert.

Med en auksjon av en kjent kryptovaluta hvor markedsverdien er relativt enkel å fastslå ville man derfor tro at auksjonsprisen ville ende tilnærmet lik markedsverdien. Dersom jeg byr vesentlig mindre enn markedsprisen vil noen andre se anledningen til å betale bittelitt mer, og fremdeles sitte igjen med en gevinst. Slik vil det fortsette helt til man når markedsprisen. Når prisen er lik den prisen man kan få andre steder i markedet vil det ikke lenger være av interesse å øke budet, da kan jeg jo kjøpe like mye Bitcoin biligere et annet sted. Det er dermed veldig rimelig at anta at sluttsum på auksjonen ble tilnærmet lik de 29.000 kronene valutaen skulle være verdt.

Det skjedde ikke.

I virkeligheten endte auksjonen med en kjøpspris på 43.000 SEK, nesten 50% dyrere enn markedsverdien! Det tilsvarer at jeg tilbyr 148 kroner for å kjøpe en hundrelapp; et forbausende lite logisk resultat!

Økonomer er kjente for å anta rasjonelle aktører; det virker rimelig å anta en viss underliggende logikk i de beslutningene vi tar når vi bruker penger. Selvom dette er en ofte kritisert antagelse, det er allment kjent at vi ikke alltid er like rasjonelle, så er det interessant å vurdere hvorfor denne antagelsen iblant brytes. Hva er det som gjør at vi ikke forholder oss til logikk når det gjelder bruk av hardt opptjente midler; eller i dette tilfellet, hvorfor i all verden er noen villig til å kjøpe 29.000 kroner for 43.000 kroner?

Et enkelt svar er å si, «man forventer vel at BitCoin kommer til å stige i verdi». Men dette svaret virker for enkelt. Det er greit nok å være villig til å betale mer enn et aktiva er verdt ved nåværende tidspunkt dersom man forventer en prisøkning, men hvorfor ville man da ikke heller kjøpt 43.000 kroner verdt med BitCoin på en annen side? Det finnes hundrevis av sider som tilbyr salg og kjøp av Bitcoin og annen kryptovaluta, så hvorfor skulle noen være villig til å betale 43.000 kroner for 29.000 kroner verdi, om de kunne fått 43.000 for 43.000 et annet sted?

Di Digital, et svensk teknologimagasin, stilte dette spørsmålet til Bitcoin-entreprenøren Ludvig Öberg, og fikk et spennende svar:

«Jag har två teorier. En är att det görs för den publicitet man skulle kunna få som första köpare av bitcoin från Kronofogden. Min andra teori är att det kan vara någon som vill ha garanterat ’vita’ bitcoins. Vad är då bättre än att köpa från staten?»

– Ludvig Öberg

De får altså to mulige svar tilbake:

  1. Det handler om publisitet, man er villig til å betale for å være den første som kjøper Bitcoin fra Kronofogden.
  2. Kjøperen ønsker garantert «hvite» BitCoins, altså BitCoin som ikke er knyttet til kriminell aktivitet.

Selvom jeg kan forstå at noen setter pris på nerdeverdien av tilfelle 1 klarer jeg ikke å rasjonalisere at dette skal være verdt 14.000 SEK. Dermed gjenstår argument 2, garantien om krim-frie BitCoins.

Dette er et veldig interessant tilfelle. Det tyder på at det er noen som er så interessert i å sikre valuta av lovlig opprinnelse at de er villig til å betale en halv gang til mer enn den faktiske verdien. Valuta er kun et verdibærende middel, min hundrelapp er verdt hundre kroner fordi jeg vet at jeg kan veksle den inn i varer og tjenester verdt tilsvarende. Men spørsmålet som stilles da er hvorvidt jeg hadde vært villig til å betale mer for en hundrelapp som jeg vet ikke har blitt benyttet til dophandel eller annen lyssky aktivitet tidligere, med staten som garantist. Da blir det plutselig en kvalitativ forskjell mellom hundrelapper av ukjent opprinnelse, og hundrelapper av kjent opprinnelse.

Dersom jeg tilbys å kjøpe 100.000 av en fyr i hettegenser i et mørkt garasjeanlegg har jeg grunn til å være mistenksom. Dersom pengene viser seg å komme fra et bankran kan jeg potensielt få pengene beslaglagt av myndighetene. Følgelig vil jeg måtte veie den potensielle gevinsten av å kjøpe pengene til en fin rabatt opp imot sannsynligheten for at de stammer fra en lyssky aktivitet, og at jeg kan få pengene beslaglagt (samt eventuelt mine egne moralske skrupler ved å kjøpe penger fra en slik aktivitet). Verdien av de 100.000 blir altså mindre enn den faktiske verdien på sedlene.

Tilfellet gjengitt med BitCoin er et eksempel på det motsatte. Jeg vandrer inn i min lokalbank og blir tilbudt å kjøpe 100.000 for mer enn 100.000. Jeg velger likevel å slå til fordi jeg med sikkerhet kan vite at pengene er trygge og ikke vil bli beslaglagt

…Vel, strengt tatt vet jeg det ikke med sikkerhet, men jeg kan anta at et eventuelt lyssky opphav til pengene ikke vil gå utover meg, men heller utover banken. 

Følgelig er jeg villig til å betale mer for pengene, og påslaget på prisen kan ansees for å være en slag forsikring mot at jeg plutselig oppdager at pengene har et kriminelt opphav.

Dette tilfellet, selv om det virker logisk i sin egen rett, er litt absurd. Det legger til grunn at jeg har en implisitt frykt for, og rimelig antagelse om, at pengene kan ha kriminelt opphav.  Selv om det er naivt å anta at ingen av pengene vi håndterer i hverdagen har blitt benyttet til kriminelle formål virker det likevel rimelig å anta at andelen er såpass liten at det ikke vil påvirke oss på noe vis. Vi behøver ikke å gå rundt og frykte at vekslepengene vi får på butikken eller uttaket fra minibanken kanskje stammer fra et bankran.

Det at ‘hvite’ Bitcoin dermed handles til en pris såpass mye høyere enn markedspris fremstår dermed som en antagelse om at ‘sorte’ BitCoins er utbredt, og sikkerheten dermed er mye verdt. Dette sier noe om inntrykket folk sitter med om bruken av kryptovaluta; at BitCoin ofte benyttes til kriminelle formål og bærer med seg en stor fare.

Kritikere av BitCoin har ofte hevdet at valutaen primært eksisterer fordi kriminelle ønsker anonymiteten BitCoin tilbyr, og Forbes gikk i mars i år så langt som å sammenligne BitCoin med konfliktdiamanter. Til tross for dette har BitCoin spredt seg enormt de siste årene, det finnes nå butikker, kaféer, universiteter, banker og minibanker som tilbyr bruk av BitCoin som betalingsmiddel. Selv om verdien har svingt enormt gjennom de siste årene, har det blitt klart for de fleste at BitCoin har kommet for å bli. Det er rett og slett litt for utbredt til at det kan forsvinne uten videre. Det har blitt en ny, globalt annerkjent valuta, som overgår landegrenser og myndigheter. Og likevel er BitCoin langt fra å oppføre seg slik vi ville forvente av de fleste valutaer vi har kjennskap til.

Alt i dette innlegget er spekulasjoner. Ettersom at auksjonen ble gjennomført anonymt, og ingen har kommet frem for å bekrefte at det var de som kjøpte beløpet av Kronofogden, kan vi rett og slett ikke vite hva som skjedde. Kanskje vet denne personen noe vi ikke vet? Kanskje personen gjorde en grov regnefeil, var full, eller bare syntes anledningen til å være den første til å kjøpe kryptovaluta fra den svenske staten var litt for spennende.

Merkelig, og fascinerende, er det uansett.

Reklamer

Hvor langt skal du reise før det lønner seg å kjøpe jagerfly?

Dette innlegget startet med en enkel påstand som lød som følger, «Det er billigere per kilometer med bil enn det er med buss.»

Jeg var provosert. Det er klart det er billigere med buss? Hvordan kunne man noensinne tenke seg at bilen var billigere; den er dyr og stor og sluker bensin og forsikringsavgifter og veiavgifter og bomringer og…

Jeg innså at utgangspunktet mitt var feil. Det ble aldri hevdet at det var billigere, men at det var billigere per kilometer. Det vil altså si hvor mye det koster meg i direkte kostnader å sette meg i en bil og kjøre en kilometer, versus hvor mye det koster meg i en buss. Det er et litt merkelig sammenligningsgrunnlag, vi pleier ikke å kjøpe bussbilletter i kilometer – vi kjøper det for en tidsperiode.

… Som når alt kommer til alt er et merkelig konsept. Når vi skal reise mellom byer, si med tog fra Oslo til Trondheim, betaler vi for distansen som skal reises. Det er X antall kilometer, og vi betaler for å transporteres den avstanden istedet for tiden det tar. Det samme gjelder flybilletter, om jeg reiser med fly må jeg ikke betale noe ekstra dersom det tar lang eller kort tid – prisen er avhengig av avstanden som skal reises. 

Dette er plutselig ikke tilfellet med buss – i byer tillater vi oss plutselig å skulle betale for tiden vi benytter på transportmiddelet. Jeg kjøper meg billett for en time, hvor langt jeg kommer på den tiden vil være variabelt. Om bussen står i kø i 30 minutter  vil jeg komme kortere enn om det ikke er en annen bil på veien – jeg betaler altså for tiden ombord i transportmiddelet, og det er uavhengig av reisedistansen. Avtalen jeg inngår med busselskapet for å komme meg en viss avstand avgårde er altså uavhengig av distansen jeg ønsker å dekke, men heller avhengig av variable som er utenfor min kontroll, som kødannelse og ulykker. Det er i bunn og grunn en merkelig avtale å være villig til å inngå. 

Utgangspunktene til meg og professoren min er også grunnleggende forskjellige: han har bil, det har ikke jeg. For han vil dermed de direkte kostnadene av en kilometers reise med bil bestå av bensinkostnadene (og eventuelt bomavgiftene) som påløper. For min del vil det bestå av kjøpesummen for bilen pluss de samme kostnadene. Der det for han kan være nede i enkelte kroner vil det for min del passere mange titalls tusen.

Dermed vekkes det aktuelle spørsmålet, hvor langt unna campus må jeg bo før det er økonomisk lønnsomt å skaffe seg bil?

Vi starter med å legge til grunn litt data.

Avstanden fra hybelen min til campus er drøye 5,7 km om vi stoler på Google Maps. Dette er avstanden jeg reiser daglig til og fra skolen, fem dager i uka, 17 uker i semesteret. Total avstand jeg pendler i studiesammenheng i semesteret er altså 5.7 km * 2 * 5 * 17 = 969 km.

Fun fact: Det tilsier at jeg iløpet av et semester kjører en distanse tilsvarende Trondheim-Alta, eller Trondheim-Kiel iløpet av min daglige pendling til og fra lesesalen. Det er et godt stykke:

969km

Ved semesterstart betalte jeg omtrentlig 2140,- for månedskortet mitt hos AtB. Det vil si at jeg betaler omtrentlig 2 kroner og 21 øre per kilometer jeg reiser dette semesteret.

Dette er strengt tatt ikke helt korrekt. Jeg benytter meg også av buss foruten om den daglige pendlingen til og fra skolen, jeg reiser også til og fra venner og sentrum. Jeg utelater likevel dette fra beregningen ettersom at dette er en distanse jeg alternativt også hadde medregnet i kostnaden av bilbruk. Det er derfor lettere å ta utgangspunkt i en størrelse jeg er sikker på, og bruke denne for kostnadsberegningen ved begge alternativene. 

Alternativet til å reise med buss hadde vært å kjøpe en bil jeg kunne bruke til og fra skolen. Etter en liten runde på Finn.no har jeg oppdaget at det går ann å kjøpe bruktbiler som visstnok fungerer til omtrent 15.000.

Regnestykket for reelle kostnader ved en bil er litt komplekst. Det innebærer mange forskjellige kostnader, fra verdifall, rentekostnader, forsikring og årsavgift, til drivstoff, bomstasjoner, service, reparasjoner, vedlikehold, dekk og mer til.

Kostnadstype Hvor mye Hvor ofte Sum
Kjøp av bil 15 000,- 1 gang 15 000,-
Verdifall ? hele levetiden ?
Forsikring 4 500,- per år 4 500,-
Årsavgift 2 820,- per år 2 820,-
Drivstoff 14,- per liter 1 356,-
Bomstasjon 36,- tur / retur 3 060,-
Service ? ? ?
Reparasjon ? ? ?
Vedlikehold ? ? ?
Dekk ? ? ?
Rentekostnader 0.012% per år 321,-
27 057,-

Litt om kostnadene:

Kjøpesum er selvforklarende nok.

Verdifallet måler hvor mye mindre bilen blir verdt over tid; ettersom at vi tar utgangspunkt i et vrak kan vi se bort ifra verdifallet. Vi er ikke interessert i hva som skjer med bilen etter vi har benyttet den, bare at den varer de 969km vi behøver. Vi kan like greit anta at bilen er verdiløs etter vi er ferdig, slik at verditapet totalt blir lik kjøpesummen på 15.000.

Forsikringsverdien er et grovt estimat, vi antar en årlig sum på omtrent 4 500,- og årsavgift fant jeg på skatteetatens sider, her. Den er for 2017 satt til 2 820,-.

Drivstoff er estimert med utgangspunkt i en gammel, litt sliten bil som klarer 10km på literen. Med en total reisedistanse på 969km behøver vi altså 96.9l med bensin. Priset til 14,-/l blir dette 1356;- totalt.

Bompenger fant jeg ved hjelp av denne bompengekalkulatoren. Den gir at prisen skal være 9,- til universitet, og 27,- på vei tilbake – slik at summen totalt blir 36,- tur/retur. Vi regner en tur-retur, 5 dager i uka, 17 uker i semesteret, og får totalt 3 060,-.

Utgifter som service, reparasjon, vedlikehold, dekk o.l. er vanskeligere å estimere. For å jukse litt ignorer jeg derfor disse kostnadene. Vi satser på at vi kjører veldig forsiktig, og aldri er nødt til å betale en krone ekstra for noen av disse tingene. Flaks, gitt!

Rentekostnaden er rentene vi kunne fått av pengene vi har benyttet på bilen dersom vi hadde satt pengene i banken istedet. Med de lave rentene vi ser idag har jeg tatt utgangspunkt i en rente på 1.20%. Dette er altså 1.20% av de 26 736,- som vi har måtte benytte hittil. Det gir et  totalt rentetap på 321,- over et år.

Den endelig kostnaden vår for bil tur-retur lesesal er altså 27 057,-. Til sammenligning kostet altså busskortet meg 2140,-. Ettersom at begge av metodene reiser like langt er det opplagt at kilometerkostnaden for bil er betydelig høyere, mer enn 12 ganger mer.

Kostnad per kilometer er altså betydelig høyere for bil enn for buss, men i dette tilfellet har vi jo måttet regne med en rekke fast kostnader som vi ikke behøver for buss. Det kan være av interesse å vurdere hvor mye det hadde kostet oss om vi fikk bilen gratis, og bare måtte betale for de variable kostnadene. Det vil altså si summen bensinkostnader og bomkostnader, en totalsum på 4416 per semester. Vi ser altså at selv om vi hadde mottatt bilen gratis koster den oss omtrent dobbelt så mye per kilometer sammenlignet med buss: 4 kroner 55 øre – istedet for 2 kroner og 21 øre.

En modell med tidskostnader

Det virker altså opplagt at kostnaden ved bil per kilometer er høyere enn for buss, ihvertfall så lenge vi regner på direkte kostnader. Det som kan være interessant å merke seg er at biler stort sett reiser raskere enn busser. Busser er nødt til å stoppe støtt og stadig for å slippe av og plukke opp passasjerer, og har visse begrensninger for hvor raskt de har lov til å kjøre med passasjerer som ikke har sikkerhetsbelte. De kjører heller ikke nødvendigvis den mest effektive ruten, men heller den ruten som er mest befolket. Vi kan derfor anta at det foreligger en tidsgevinst ved å velge å kjøre bil fremfor buss. For å beregne denne gevinsten er vi nødt til å regne den om til en pengeverdi, vi trenger altså å tilegne den tiden som vi bruker på å reise en verdi. Heldigvis skrev jeg en del om dette da jeg regnet på hvor lenge man kunne holde igjen bussen. Jeg trenger også et estimat på hvor mye tiden min er verdt, ettersom at jeg er en student og ikke tjener en timeslønn. Det skrev jeg om her

Vi tar altså utgangspunkt i en timeslønn på 726,-, og legger denne til grunn når vi skal beregne gevinsten av å komme raskere frem. Ifølge Google Maps antas det 15 minutter reisetid hjemmefra til campus med bil. Tilsvarende tar det 19 minutter med buss. Det vil si at man sparer 4 minutter med bil, eller 49,- målt i timeslønn.

Det er nå regnestykket blir interessant. Buss koster oss 2kr 21 øre per km, eller 2140,- for 969 km. Om vi fremdeles antar at vi får bilen gratis, og kun betaler for bensin og bompenger, koster bil koster 4 kr 55 øre per kilometer, eller 4416,- for 969 km. Til gjengjeld sparer bilen oss åtte minutter for hver dag som går. 5 dager i uka, i 17 uker, er dette en total tidsinnhenting på 680 minutter, eller 11 timer og 20 minutter i løpet av et semester. Det tilsvarer en gevinst på 8 228 kroner ved at vi kjører bil! Det er mer enn bilen koster oss i variable kostnader, vi tjener altså penger på å kjøre bil!

Hva om vi regner med at vi kjøper bilen som først antatt; hvor mye tid må vi spare før vi det lønner seg å kjøre bil fremfor å ta buss? Da regner vi altså med en kostnad på 27 057 som før, med alt inkludert. Til gjengjeld trenger vi at tidsrabatten, den tiden vi vinner igjen, må utgjøre en total rabatt på på minst 24 918. Det skjer når:

(2*t)*5*17*726\geq 24 918

altså når t \geq \frac{24918}{2*5*17*726} = 0.2019

Det vil si når vi sparer minst 20.19% av en time, eller 12 minutter og 7 sekunder hver vei. Da vil total tidsinnsparing bli 34 timer og 20 minutter iløpet av semesterets helhet. Det er en total tidsgevinst på 24 918,- og da er det altså en krone billigere å kjøpe og bruke bil fram og tilbake til skolen fremfor å reise med buss.

Disse tallene er basert på kostnadene jeg la til grunn for bilen tidligere. Det kan dog være av interesse å se hvor langt vi må reise, eller hvor mye tid vi må spare, før det lønner seg å bytte til en raskere fremgangsmåte. Det billigste alternativet vil i direkte kostnader alltid være å gå, men dette alternativet hensyntar ikke kostnaden ved tiden man bruker. Da kan det fort lønne seg å kjøpe en sykkel. Eller et busskort, en bil, eller til og med et jagerfly. Dersom vi sammenligner flere kjøretøy kan vi se på tidsrabatten, hvor mye tid vi sparer på å velge et kjøretøy fremfor et annet – og hva dette vil utgjøre i ren pengeverdi. Vi kan starte med å vurdere et lite privatfly.

Cessna 150

Dette er et 1966 Cessna 150 småfly. Det ligger for øyeblikket ute for salg på Ebay til den nette sum av 83.827 kr ($10400). Med et vingespenn på bare 10 meter, og en marsjfart på 196km/t er det et ideelt småfly å vurdere dersom vi er lei av å sitte i bilkø på vei til campus. I tillegg til kjøpssummen trenger flyet trenger omtrent 19 liter bensin per flytime. Flyet benytter seg av 100LL flybensin som (i følge Hallingdal Flyklubb) for tiden kan kjøpes for omtrent 20 kr/l. Det betyr at total bensinkostnad for oss med lesesalspendling blir 1874 kr i semesteret, en drøy 500-lapp mer enn vi ville brukt ved tilsvarende drivstoff til en bil. Samtidig kan vi også se bort ifra bompenger, det finnes ingen bomstasjoner i luften!

… Det påløper selvfølgelig en god del forsikringspoliser, løyver og avgifter ved bruk av personlig småfly, for å ikke snakke om det faktum at man med 10m vingespenn må betale for 5 parkeringsplasser om gangen. For enkelthetens skyld ser jeg dog bort fra disse kostnadene, det er kjøpssum, bensinkostnader og tidskostnader som blir de kostnadene vi regner med for småfly (og resten av garasjen jeg skal vurdere).

Men dette er kanskje ikke nok? Skal man først være eksentrisk nok til å fly til campus kan man vel i det minste fly i stil…

Lockheed Martin F-16

Dette er et Lockheed Martin F-16 fler-rolle kampfly. Kanskje et av de mest ikoniske jagerflyene i moderne tid, F-16 har en behagelig marsjhastighet på 850km/t, og får oss til campus på omtrent 24 sekunder.

…om vi ser bort i fra tid for takeoff og landing; vi antar enkelt og greit at vi flyr 850km/t hele veien. Eventuelt at vi gasser på litt ekstra over Gløshaugen og Moholt.

Dessverre er ikke dette flyet spesielt tilgjengelig ved mindre du er ansatt i Forsvarsdepartementet eller har gode kontakter i skyggefulle organisasjoner. Det nærmeste kommersielle varianten vi kan få tak i er et utdatert sovjetisk MiG 21UM. Kanskje ikke like hendig i  luftkamp, men ettersom at vårt primære mål bare er å fly veldig fort får det duge.

MiG 21UM

Etter å ha søkt litt, og antageligvis blitt oppført i PST sitt nasjonale sikkerhetsregister, fant jeg et MiG 21UM til salgs i Florida for $250.000, eller drøye 2 millioner norske kroner. Flyet skal klare en tilsvarende marsjhastighet som F-16, omtrent 850 km/t. Bensinkostnadene er dog litt verre.

Det viser seg at beregningstabeller for estimert bensinbruk av jagerfly er ganske komplekse. Bensinforbruket avhenger av flyets vekt, hastighet og høyde over havet. Lette fly som flyr sakte og høyt i atmosfæren der det er mindre luftmotstand, krever opplagt nok mindre bensin enn tunge, raske fly i lav høyde. MiG 2UM bruker mellom 500 liter per 100km ved 550 km/t ved havnivå, og 1200 liter per 100km ved 1300 km/t ved havnivå. Etter mye lesing på russiske nettforum for ekstremt jagerflyinteresserte virker det likevel som omtrent 500 l per 100 km ved 850 km/t ved havnivå er et greit estimat. Det tilsvarer drøye 4250 liter flybensin per time. Hallingdal flyklubb tilbyr utifra hva jeg kan finne dessverre ikke bensin til jagerfly, men prisen ser ut til å ligge på omtrent 11kr per liter om man finner seg en grei leverandør. De totale bensinkostnadene våre blir dermed 52.983 kr per semester.

Det skulle vise seg at det å pendle til og fra lesesalen med avdankede sovjetiske jagerfly hverken er spesielt miljøvennlig eller spesielt billig. Men det er ihvertfall spesielt.

…Går det an å reise enda raskere?

Romferge

Om jeg blir bedt om å nevne det raskeste transportmiddelet jeg kan tenke meg ville jeg svart med romfergene. For å klare å slynge et objekt ut fra jordens atmosfære kreves det en unnslipningshastighet på omtrent 11.2 km/s, eller 40 269 km/t.

Artig nok er dette nesten nøyaktig det samme som jordas omkrets på 40 075 km. Dette viser seg å være en ren tilfeldighet, men fungerer som en enkel huskeregel neste gang noen spør deg om hvilken hastighet som kreves for å unnslippe jordas gravitasjon. Du vet, neste gang du er på fest eller no’.

Problemet er at romfergene ikke oppnår makshastighet med en gang, noe som vises i den følgende grafen:

Dette problemet eksisterer også for jagerflyene, men det føles ikke helt rettferdig å benytte marsjhastigheten for en romferge som snitthastighet, da disse ofte blir hjulpet av planetariske legemer og det faktum at de reiser i vakuum. Og selv om jeg er glad i forenklinger, fremstår det å forenkle bort all luft i hele verden på vei til lesesalen som et potensielt større problem enn eventuelle bomringer og årsavgifter på romfergen min. Etter litt research viser det seg at romfergene har en akselerasjon på omtrent 5m/s^2 ved takeoff, og som vi også ser av grafen over tar det omtrent 48 sekunder før de har nådd en høyde på 5.7 km. Det gir en snitthastighet på 428 km/t, og vi velger å benytte dette som estimatet vårt, bare at vi istedet for å reise oppover velger å reise sidelengs mot NTNU Dragvoll, og sikter oss inn på ett av de store jordene rett ved siden av campus for en enkel og praktisk hverdagspendling.

Det gjenstår imidlertidig et lite problem:

Det er merkelig nok få som tilbyr romferger, enten brukte eller nye, for tiden. Dermed er det også vanskelig å si noe sikkert om hvor mye det koster å kjøpe en romferge. Wikipedia kan imidlertidig peke oss i riktig retning:

I mangel på noe annet legger vi altså dette beløpet til grunn, $450.000.000, eller litt over 3.6 milliarder norske kroner. Dette antas da å inkludere bensinkostnader, eventuelle kommunale løyver og de 70 parkeringsplassene man vil behøve etter man har dumpet skyverakettene over Voll et sted (og med en hårfin lukeparkering som gir 10cm klaring til stripen).

Oppsummert:

Oppsummeringen over transportmidlene, kostnader per km, tidsbruk og totalkostnader medregnet tidsforbruk følger under. Merk at kjøpesum og variable kostnader er sammenlagt i kilometerkostnaden:

Transportmiddel Kjøpssum: Kostnad per km Hastighet Tid per tur Total avstand Total tid, ett semester Tidskostnad Bensinkostnad Totalkostnad
Ben 0,00 kr 0,00 kr 4.4km/t 1t 18min 969km 220t 14min 159 885,00 kr 0,00 kr 159 885,00 kr
Sykkel 1 500,00 kr 1,55 kr 12 km/t 29 min 969km 80t 45 min 58 624,50 kr 0,00 kr 60 124,50 kr
Buss 2 140,00 kr 2,21 kr 18 km/t 19 min 969km 53t 50 min 39 083,00 kr 0,00 kr 41 224,49 kr
Bil* 15 000,00 kr 20,03 kr 23km/t 15 min 969km 42t 8 min 30 586,70 kr 1 356,00 kr 49 995,65 kr
Privatfly 83 021,00 kr 87,61 kr 196km/t 105 sekunder (ved marsjfart) 969km 4t 57min 3 589,26 kr 1 874,00 kr 88 484,26 kr
Jagerfly 2 000 000,00 kr 2 118,66 kr 850km/t 24 sekunder (ved marsjfart) 969km 1t 8 min 827,64 kr 52 983,00 kr 2 053 810,64 kr
Romrakett 3 613 725 000,00 kr 3 729 366,06 kr 428 km/t 48 sekunder 969km 2t 16 min 1 643,68 kr ??? 3 613 728 286,68 kr

Merk at jeg her har medregnet kjøpssummen av bilen (15.000 kr) i kilometerkostnaden for bilen. Det er grunnen til at kilometerkostnaden blir 20/km, sammenlignet med 4,55 oppgitt tidligere. 

Vi ser altså at det lønner seg, når alt kommer til alt, å reise med buss. Bussen gir det gunstigste forholdet mellom tid benyttet, og kjøpssum for bruk av transportmiddelet. Buss er relativt raskt, men koster også lite.

Det kan likevel påpekes at totalkostnaden for flyene i stor grad er preget av kjøpssummen. Vi ser at dersom du allerede eier flyet koster det egentlig veldig lite i drift grunnet all tiden du sparer.

…Da ser vi selvfølgelig også bort ifra kostnader til årsavgifter, bøter, reparasjoner og erstatningskrav for knuste vindu som følge av flyging i overlydshastighet over byrom, samt forsikringspoliser og eventuelle skader på biler ved bruk av Dragvoll parkeringsplass som landingsbane. Pluss et par ting til.

Fjerner vi kjøpssummen fra alle alternativene blir plutselig bildet seende veldig annerledes ut, da blir kostnadene kun bestående av løpende kostander og tidskostnader ved bruk av hvert fartøy.

Transportmiddel Kjøpssum Kostnad per km Hastighet Tid per tur Total avstand Total tid, ett semester Tidskostnad Bensinkostnad Totalkostnad
Ben 0,00 kr 0,00 kr 4.4km/t 1t 18min 969km 220t 14min 159 885,00 kr 0,00 kr 159 885,00 kr
Sykkel 0,00 kr 0,00 kr 12 km/t 29 min 969km 80t 45 min 58 624,50 kr 0,00 kr 58 624,50 kr
Buss 0,00 kr 2,21 kr 18 km/t 19 min 969km 53t 50 min 39 083,00 kr 0,00 kr 41 224,49 kr
Bil 0,00 kr 4,55 kr 23km/t 15 min 969km 42t 8 min 30 586,70 kr 1 356,00 kr 34 995,65 kr
Privatfly 0,00 kr 1,93 kr 196km/t 105 sekunder (ved marsjfart) 969km 4t 57min 3 589,26 kr 1 874,00 kr 5 463,26 kr
Jagerfly 0,00 kr 54,68 kr 850km/t 24 sekunder (ved marsjfart) 969km 1t 8 min 827,64 kr 52 983,00 kr 53 810,64 kr
Romrakett 0,00 kr 1,70 kr 428 km/t 48 sekunder 969km 2t 16 min 1 643,68 kr ??? 3 287,36 kr

 

Vi ser til tross for at en romferge vil benytte dobbelt så lang tid som vårt utdaterte sovjetiske jagerfly vil det være betydelig billigere å benytte seg av dette dersom du har et ferdig finansiert romprogram i garasjen, enn det vil være å betale bensinkostnadene for jagerflyet. Småfly er faktisk ikke langt dyrere, med en totalpris på snaue 5.500 kr. Deretter kommer bil inn på en solid tredjeplass, billigere enn buss, dersom man allerede eier bilen. Artig nok ser vi faktisk at det koster deg mer å sykle enn det vil å fly MiG i lav høyde. Nok en grunn til at jeg neppe kommer til å begynne å sykle om morgenen med det første.

Dette bringer meg omsider tilbake til det originale spørsmålet mitt, hvor langt må man egentlig reise før det lønner seg å kjøpe et jagerfly? Spørsmålet kan omformuleres, hvor langt må man regne med å måtte reise før tidsinnsparingen ved kjøp av et jagerfly dekker kostnaden ved kjøpet, relativt sett til en tilsvarende reise med buss? Tidsinnsparingen vi trenger kan vi finne ved regne slik vi gjorde i starten, ved å løse den følgende ligningen for t

(2*t)*5*17*726\geq pris

For en Cessna finner vi dette når

t \geq \frac{83021}{2*5*17*726} = 0,67267, altså når man sparer inn 40 minutter 22 sekunder hver vei.

For å finne ut hvor langt vi må reise før et Cessna 150 har tjent inn 40 minutter 22 sekunder relativt sett til en buss bruker vi den følgende formelen

\frac{V_1*t - V_2*t}{V_2} = T_{saved}

der V_1 er hastigheten til flyet, V_2 er hastigheten til bussen og T_{saved} er tiden vi behøver å spare inn. Da gir t tiden vi er nødt til å reise. Dette viser seg å være 0,068 timer, eller omtrent fire minutter. Fire minutter med et Cessna-fly i 196 km/t gir oss en avstand på 13.33 km. I løpet av disse fire minuttene har bussen rukket å kjøre 1.22 km, og har 12.11 km igjen. Med en hastighet på 18 km/t trenger den altså 40 minutter 22 sekunder til den når samme punkt som flyet, og vi ser at det lønner seg å fly. Matematikken holder altså vann. Det vil si at på kartet nedenfor vil det lønne seg å benytte småfly for alle avstander som ligger utenfor den grønne sirkelen. Det lønner seg altså ikke  for en rask tur til sentrum, men med en gang man skal litt utenfor byen lønner det seg raskt. Artig nok betyr det at det lønner seg å ta småfly til Værnes Flyplass dersom du skal ut og reise.

Tilsvarende kan vi finne at avstanden som kreves før pendling med et MiG-fly blir lønnsomt er 297.91 km, hvorpå flyet sparer inn 16 timer og 12 minutter relativt sett til en buss. Dette er en ganske kort avstand, det tilsvarer nesten perfekt luftlinjen mellom Oslo-Bergen, Oslo-Stavanger, eller Oslo-Røros.

Jeg tillater meg nå å digregere et øyeblikk. Et moderne privat jetfly som Gulfstream IV har en marsjfart på tilsvarende det vår gamle MiG 21UM har. Flyet har en del høyere stykkpris, men resonnementet over kan lett utvides; en høyere stykkpris tilsier kun at det må bespares mer tid, og dermed også at påkrevd distanse for lønnsomhet må være større. Det likevel dette som begrunner det som mange nordmenn stusser over når de hører om utenlandske firma eller millionærer som har personlig jetfly. Gitt at du eller dine ansatte har en høy nok timeslønn sparer man overraskende inn pengene ved  å investere i privatjet versus det å benytte seg av kollektiv transport der hastighetene er lavere og transit-tiden er lenger. Om vi flytter sirkelen over til London ser vi hvordan det kan lønne seg for europeiske storbanker med hovedkvarter i London og Sveits å ha privatfly.

Eller enda tydeligere, hvorfor amerikanske selskaper ofte påkoster seg dette

Det er rett og slett dyrt å betale høyt betalte mennesker mye penger for å reise med treg transport, tanken om å kjøpe seg jetfly ved langdistansependling er ikke så fremmed som mange kanskje tenker seg.

Hva så med romferge? Med en pris på over 3.6 milliarder kroner kreves det en innsparing på 29 279 timer hver vei. Det betyr at avstanden må være større eller lik 527 359 km. Men nå burde vi kanskje vurdere marsjfarten til romfergen til å være en del høyere skarve 428 km/t? Selvom vi benytter oss av topphastigheten på såvidt over 28000 km/t gjør det liten forskjell, det vil fremdeles først lønne seg å reise med romferge dersom du skal utenfor det markerte området:

Logisk nok. Jeg venter fremdeles på den dagen det begynner å gå buss i skytteltrafikk til den internasjonale romstasjonen.

Har man et romprogram liggende i garasjen eller ferdig montert i bakgården vil dette altså lønne seg, men for alle oss andre som må ta vurdering av innkjøpet i tillegg lønner det seg fremdeles å ta buss. Så kan jeg også anbefale å benytte en ekstra hundrelapp på en god bok, da føles fort tidskostnaden betydelig mindre. God pendling!

Om synkroniserte hjerter og bursdagsproblemet

En av fordelene ved å være glad i sære matematiske sammenhenger er at man ofte blir stilt interessante spørsmål. Spørsmål sånn som dette:
Du, mattegeniet, kunne du gjort meg en tjeneste? Jeg trenger litt hjelp med sannsynlighetsberegning for hvor mange hjerter som slår samtidig på jorden, og sjansen for at hvor mange ville slått sammen i en gruppe på ca 50 mennesker – kan du bidra?
Uh, hvor i all verden begynner man?

Problemet består altså av å beregne sannsynligheten for at to tilfeldige mennesker har hjerter som slår i takt. Det krever en del forutsetninger for hjerterytmer, og en diskusjon av hva samtidighet egentlig innebærer.

Et normalt hjerte har hjerterytme mellom 60 og 100 slag per minutt. Toppidrettsutøvere kan ha en rytme på så lavt som 40, men det er ekstremalavvik. Jeg velger derfor å ta basis i 60-100 intervallet og normalfordeler rundt 80 bpm (beats per minute). Det vil si omtrent 1.33 slag per sekund, eller 0.75s for hele durasjon av et slag, med sammentrekning og pumping til neste slag begynner.

Et problem vi må ta stilling til er at hjertet går gjennom mange forskjellige faser i løpet av et vanlig hjerteslag, og det er dermed veldig vanskelig å definere samtidighet og hva «i takt» egentlig betyr i denne sammenhengen. Er to hjerter «i takt» om de banker innenfor et sekund av hverandre? Er de i takt om det ene trekker seg sammen mens det andre ekspanderer? Hvor presise trenger vi egentlig å være her?


Med utgangspunkt i to personer med identisk puls, virker det naturlig å definere takt som en samtidig «start» på hjerteslaget. Vi kan altså snevre inn definisjonen til at «i takt» krever samtidighet i det elektriske signalet som igangsetter slaget, og at forskjellen mellom disse to må være et så marginalt avvik at vi sliter å skille mellom dem.


Det elektriske signalet som sparker hjertet igang kalles for QRS-komplekset, og antas normalt å vare mellom .06-0.1 sekunder (fra:Wikipedia). For å ha et enkelt tall å forholde oss til tar vi utgangspunkt i medianverdien på 0.08 sekunder.

Hittil har vi altså tatt utgangspunkt i 80 slag i minuttet, hvert med et varighet på 0.75s, og at det initielle kicket har en varighet på 0.08s.

Neste utfordring består av å definere hvor stort det marginale avviket mellom slagene må være for at vi skal klare å skille mellom dem. Her var jeg usikker på hvordan jeg skulle gå frem, så jeg valgte den opplagte løsningen: jeg satte opp to metronomer, og prøvde å finne ut når jeg kunne høre et tydelig avvik i rytme. Dette viste seg å ligge å omtrent \frac{2}{60}-dels forskjell, eller drøye 3% differanse. Ved bruk av metronom kan jeg høre tydelig rytmeforskjell først ved \frac{2}{60} -dels avvik i takt, det vil si avvik på omtrent 3% i rytmen.

Artig nok fant jeg også en artikkel som bekreftet dette resultatet etter klinisk eksperimentering. Centre for History and Analysis of Recorded Music (CHARM) har publisert en artikkel der de har undersøkt Just Noticable Differences (JND), altså hvor mye du kan variere tempo i musikk før lytterne klarer å høre et klart avvik. Som det fremgår av artikkelen:
… if you increase the tempo by 3% each beat, a person (at least the one who took the test) can perceive the acceleration in tempo. If the tempo is changed by 1% for each beat, then a tempo will not be perceptible until at least 5 beats (including the ones used to define the starting tempo).
                                                                                                  –Mazurka.org

Artikkelen bekrefter altså at et 3% avvik i tempo er et merkbart avvik. Vi benytter derfor dette som målet vårt for samtidighet i rytme. Et hjerteslag vurderes altså for anledningen å være «i takt» med et annet dersom det er startet før eller etter 3% av hjerteslagsimpulsen (QRS) til et annet hjerte, altså pluss/minus omtrent to og et halvt millisekund. Mitt og et annet hjerte er dermed tilnærmet lik i takt om det andre hjertet fyrer impuls 2.5 millisekund før eller etter mitt.

Vi har dermed et intervall på omtrent 5 millisekunder hvor to hjerter kan vurderes for å være i takt, ut av en total varighet på 0.75 sekund. Det er omtrent 0.66% av varigheten, eller \frac{1}{150}-del av den totale perioden. Det vil si at du statistisk kan forvente å finne noen med samme hjerterytme som deg selv en gang i en gruppe på 150, gitt forutsetningene vi har lagt til grunn. Dette er dog bare sannsynligheten for at noen deler rytme med deg. Hva er sannsynligheten for at to tilfeldige personer i et rom deler takt?

Dette problemet er i seg selv et artig problem, for det ligner mye på det såkalte bursdagsproblemet. I bursdagsproblemet forsøker man å finne hvor mange personer som må være i et rom for at det skal være 50% sjanse for at to deler samme bursdag. Det logiske og enkleste utgangspunktet er at det ved 366 personer i et rom må være 100% sjanse for at noen  deler bursdag, men interessant nok viser det seg at det kun kreves 23 personer for 50% sannsynlighet, og at det ved 70 personer er 99% sannsynlighet for at to personer deler bursdag.

Dette er fordi hver eneste nye person i rommet må sammenlignes opp mot alle som allerede er i rommet. Det holder ikke at den nye personen ikke deler bursdag med deg, vedkommende kan heller ikke dele bursdag med noen andre som er i rommet.

Løsningen tar altså utgangspunkt i at det er en like stor sjanse for at noen har bursdag på hver av årets dager (det finnes noen klyngedannelser for bursdager, men de regnes ikke som signifikante nok til å ha særlig effekt på resultatet).
Vi definerer at P(A) er sannsynligheten for at to personer deler bursdag, og at P(A') er sannsynligheten for at ingen to personer deler samme bursdag. Da fremgår det logisk nok at P(A) = 1 - P(A'). Vi kan altså like greit se på når sannsynligheten for at ingen to personer har samme bursdag dypper under 50%, ettersom at dette vil tilsvare at sannsynligheten for at to personer har samme bursdag overstiger 50%.


Den første personen har en \frac{365}{365}-dels sjanse for å ikke ha bursdag samme dag som noen andre, ettersom at det ikke er noen andre å dele med. Personen kan altså ha bursdag en hvilken som helst dag. Person 2 kan ha bursdag alle dager utenom den person 1 har, det vil si: \frac{364}{365}.

Sannsynligheten for de to personene ikke har samme bursdag er da \frac{365}{365}*\frac{364}{365} = 0.9972

Den tredje personen kan hverken dele bursdag med person 1 eller person 2, og kan dermed bare velge blant de 363 resterende dagene. Den kumulative sannsynligheten for at ingen deler bursdag faller altså til  \frac{365}{365}*\frac{365}{365}*\frac{363}{365} = 0.9918

Slik kan vi fortsette helt til vi kommer til den 23. personen. Da vil sannsynligheten for at ingen to personer deler bursdag være:
\frac{365}{365}*\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*...*\frac{343}{365} = \frac{1}{365}^{23} * (365*364*363*...*343) \approx 0.4927


Vi kan benytte en helt identisk tilnærming når vi vurderer sannsynligheten for at to personer har samstemte hjerteslag. Med utgangspunkt i mulighetsintervallet på 5 millisekunder, eller \frac{1}{150}-del av tiden ved et vanlig hjerteslag, kan vi vurdere hvor mange personer som skal til før sannsynligheten for at to hjerter banker likt overstiger 50%.

Vi tar igjen utgangspunkt i at en person kan ha en hjerteimpuls som fyrer på et vilkårlig tidspunkt. Neste person i rommet vil da ha \frac{149}{150}-dels sjanse for at hjertet fyrer QRS-periode som ikke skal falle innenfor 2.5 millisekunder før eller etter den første personens impuls. Den tredje person har tilsvarende \frac{148}{150} i mulighetsrom. Den kumulative sannsynligheten for at det ikke er noen som deler impulsperiode innenfor det marginale avviket på 5 millisekunder er helt tilsvarende det vi hadde tidligere; \frac{150}{150}* \frac{149}{150}* \frac{148}{150} \approx 0.98.

Hvor mange personer må det være i rommet før det er en 50% sjanse for at to impulser faller innenfor samme 5 millisekunders intervall?
Svaret viser seg å være lavt, allerede ved 15 personer har vi krysset 50%-grensen:
\frac{150}{150}*\frac{149}{150}*...*\frac{136}{150} \approx = 0.4849
Det skal altså ikke mer enn 15 personer til i et rom før det er 50% sjanse for at to av hjertene slår i takt, gitt de forutsetningene vi har til grunn.

Den magiske 99%-grensa krysses ved 37 personer.
\frac{150}{150}*\frac{149}{150}*...*\frac{114}{150} \approx = 0.0078
Med 37 personer eller mer er det altså mer enn 99% sjanse for at minst to hjerter slår i takt.

Den kumulative sannsynlighetsfordelingen ser ut som følger:
kumulativ-synkronisering

Det må nevnes at dette, i likhet med de fleste postene på denne siden, er en forenkling av virkeligheten. Vi har her tatt utgangspunktet i en felles, fast puls på 80 bpm, men dette er jo langt fra noen selvfølgelighet. I den virkelige verden vil vi forvente å møte personer med rytme fra 60 til 120 slag per minutt, og følgelig vil tilfellene hvor slagene er i takt være langt sjeldnere. Ikke bare kan vi forvente et stort spenn, men fordelingen av disse rytmene vil også være en kontinuerlig, ikke diskré, fordeling. Vi kan altså forvente å finne individer med puls på 74.67 bpm, 74.68 bpm, 74.69 bpm, osv.

Samtidig vil man også kunne finne tilfeller der to personer slår i i takt, men ikke nødvendigvis har samme hjerterytme. Hvis en person har en puls på 60, og en annen 120 vil annenhvert slag kunne slå samtidig, noe som må vurderes for å være i takt. En person med puls på 100 og en med puls på 60 vil også kunne vente å oppleve at enkelte slag er synkroniserte, selvom den helhetlige takten uteblir.

Om ikke noe annet må det kunne sies å være et poetisk element i nettopp det, for selv om du med over 7 milliarder andre mennesker er garantert at noen har et hjerte som slår i takt med ditt, vil det være langt vanligere at du møter personer hvor enkelte slag støtt og stadig er synkroniserte. Som alt i alt er en ganske god oppsummering av det hele.

Idéen om sjelevenner, to personer hvis hjerter banker som ett, er altså ikke en matematisk umulighet – bare en sjeldenhet forutsatt en homogen puls. Kanskje ikke like romantisk, men hey – det er noe?

Studentenes timelønn

Et problem jeg støter på overraskende ofte når jeg sitter og doodler meg gjennom disse innleggene er verdiskapningen knyttet til studenter. Jeg er en student, og dermed er det ofte naturlig at jeg benytter megselv som eksempel i innleggene. Men når man regner verdiskapning som tapt eller vunnet verdi av en gitt timelønn sliter jeg plutselig litt. For på snitt går det greit, på snitt går alt greit, men helt realistisk:

Jeg har ingen timelønn.

Det er ikke helt sant. Jeg har en deltidsjobb som jeg faller innom på uregelmessig basis, men i det store og det hele, iløpet av studiehverdagen min, har jeg ingen timelønn.

Eller har jeg det?

Hvis vi ser på et problem der vi vurderer hvor mye penger jeg kan bruke, et konsum- eller budsjettsproblem, går det ganske greit. Jeg lever jo på et studielån. Jeg mottar omtrent 100.000 i året, og det er dermed mulig for meg å regne dette som en lønn fordelt utover hver måned. Dermed kan jeg vite hvor mye jeg kan bruke. Men skal vi regne på sikt er jo -ikke dette en lønn, det er et lån som skal tilbakebetales.

Jeg har dermed lyst til å forsøke å beregne en gjennomsnittlig timeslønn for en (gjennomsnittlig) student. Tanken min er som følger; en person som ikke tar høyere utdannelse kan antas å ha 13 års skolegang, ut VGS, før de hopper rett i arbeid som 19-åring. En person med en bachelor- eller mastergrad vil (forhåpentligvis) hoppe ut i arbeidslivet som 22/24-åring. Det er ingen hemmelighet at personer med høyere utdanning ofte mottar høyere lønn. Et aktuelt spørsmål er dermed hvor mye mer studentene tjener som følge av utdanningen.

Dette skal være ganske simpelt egentlig – Norge har god lønnsstatistikk, så det vi trenger å gjøre er å finne den gjennomsnittlige lønnen for en som har fullført høyere utdanning, og sammenligne den med den gjennomsnittlige lønnen for en som har hoppet rett ut i arbeidslivet.

Det første vi gjør er enkelt og greit; vi finner lønnsstatistikk for ulike utdanningsnivå hos SSB:

Gjennomsnittlig månedslønn etter utdanningsnivå

Kilde: SSB.no

Vi ser at for personer som har fullført kun grunnskole ligger snittlønnen per måned på 33.700, eller en årslønn på 370.000 (11 månedslønner), før feriepenger o.l. Fullfører man VGS øker årslønnen på snitt til 452.000, rett under landssnittet på omtrent 470.000. Ett til fire år med universitets- og høyskoleutdanning øker lønnen til 521.400, og med mer en fire år høyere utdanning er man på 652.300.

Så begynner moroa. Vi kan nemlig ikke bare se på differansen mellom disse helt uten videre. Vi har jo allerede konkludert med at en som går rett ut i arbeidslivet i en alder av 19 vil kunne jobbe lenger enn en som bruker 3-5 år på en bachelor- eller mastergrad.

Noen antagelser

Vi ser vekk fra feriepenger o.l, og vi antar at lønna er konstant gjennom hele arbeidslivet. Det vil si at man starter med full gjennomsnittslønn, men man får aldri noen lønnsheving iløpet av karrieren.  Vi antar også at alle jobber fra de er ferdig med studiet, og t.o.m fylte 67. år.  Videre ser vi vekk fra rente. Dette er en stor forenkling, men vi begrunner den simpelt – vi antar at alle bruker alt de tjener av penger hvert år – og dermed ikke sparer opp noe over tid som det kan rentes på. Dermed er det også greit å ikke anta noen forskjell i inntekt over tid, siden det vil være snittet som teller, og ikke fordelingen (da det ikke er noen renteeffekter å hente ut uansett.) Vi antar at en bachelorgrad er standardisert til 3 år med studier, og en mastergrad standardisert til 5 år – og at studiene fullføres på normert tid.

For en som går rett ut i jobb etter VGS har vi altså 48 år i arbeid (19-67), med en snittlønn på 452.000; en livstidsinntekt på 21.696.000, eller drøye 22 millioner kroner. Med en bachelorgrad kan man forvente 45 år i arbeid, og en mastergrad 43 år, med livstidsinntekter på henholdsvis 23.463.000 og 28.048.900.

Vi ser altså at bachelorstudenter tjener 1.767.000 mer enn en som hopper rett ut i arbeid etter VGS, mens masterstudenten sitter igjen med 6.352.900 mer.

En artig digresjon:

livstidsinntekt

Vi ser at masterstudenten tar igjen VGS i det 17. året, dvs. etter 12 år i arbeidslivet, mens bachelorstudenten ikke gjør dette før det 23. året – 20 år etter endt utdanning. Frem til man er 36 er det altså like godt å ha droppet høyere utdanning, og dette gjelder frem til alder av 42 sammenlignet med bachelorstudenten. Etter det derimot blir forskjellene stadig større.

Definisjonen på en fulltidsstudent er en som tar 30 studiepoeng iløpet av et semester, men dette sier ingenting om antall arbeidstimer som må legges ned – noen jobber mer enn andre. Vi kan dermed ta et (muligens noe urealistisk) utgangspunkt i at en fulltidsstudent lever opp til arbeidsmengden til en heltidsansatt, med 1750 arbeidstimer i året. Isåfall består en bachelorgrad av 5250 studietimer, og en mastergrad av 8750. Om vi dermed tar merverdien av hvert av studiene på livstidsinntekt, og deler det på antall arbeidstimer får vi en gjennomsnittlig timelønn på 336.50,- for en bachelorstudent, og 726,- for en masterstudent. Dette er interessant – den implisitte timeslønnen for en student er betydelig høyere enn den faktiske timeslønnen etter et endt studie: 297,- for en med 3 år studier,  og 372,- for 5 år.

Dette reflekterer vel bare at kunnskap er verdifullt. 

Det må sies at i statistikken skilles det ikke mellom hva slags bachelor- eller mastergrad man innehar. Noen studier vil resultere i en høyere lønn, andre i lavere. Det skilles heller ikke mellom snittkarakterer, A-studenter kan rimlig antas å oppnå en høyere lønn enn D-studenter. Dette er dermed snittverdien for snittstudenten.

Hva så med studielån? Jeg nevnte tidligere i innlegget at dette ikke kan ansees for inntekt. Det må da påvirke tallene?

Ikke egentlig. Om vi, tro til forutsetningene, ignorer rente vil lånet per definisjon ikke har noen langsiktig effekt. Lånet på 300.000-500.000 betales tilbake i sin helhet, men har ingen ytterligere effekt – det er dermed kun en intertemporær forflytning av inntekt hvor staten tilbyr penger i en periode der timeslønnen kun er implisitt, og ikke eksplisitt. Selvom man inkluderer rente er rentenivået såpass lavt, og studielån såpass gunstig, at det har liten reell effekt. Ønsker man absolutt å inkludere det kan man eventuelt flytte kurvene marginalt ned i de første 20 årene, tilsvarende lik betalingene på lånet – eller så kan vi se for oss man ‘ikke mottar lønn’ det første året i jobb – men at alt av lønn heller går til nedbetaling av lånet. Forskjellen er liten sett i det lange løp.

Hva skal man så gjøre med de ekstra pengene man får ut av et studie?

For bachelorstudenten kan det nevnes at det tilsvarer at man sitter med omtrent 1613,- om dagen, om man sprer det perfekt utover året – og masterstudenten 3481,-

Det tilsvarer henholdsvis 250 og 535 pakker nudler om dagen om man kjøper dem til 6.50 på Rema. Alternativt åpner det for nærmere 62 halvlitere på Samfundet per dag for masterstudenten. Velger man det alternativet kan det dog bare holde på i omtrent 450 dager før resten av pengene må settes av til levertransplantasjonen. (Hentet herifra)

PS: Litt om å vente.

Hvor sent kan man vente

Denne frustrerte meg litt. Det koker jo ned til hvor lenge det kreves at du jobber med lønnen du oppnår etter endt studie, når du tar hensyn til at de årene det tok å studere alternativt kunne blitt benyttet til lønnet arbeid. Men du må også tenke på lønnen du taper de årene du jobber for å ta igjen lønna du tapte.

Altså: 3-årig bachelor kunne alternativt blitt benyttet til å håve inn 452.000 i året, noe som summerer til 1.356.000. Dermed kreves det 2.6 år med bachelor-lønn for å dekke den tapte kostnaden ved studie. Men de 2.6 årene kunne igjen blitt benyttet til å tjene penger som ikke skulle dekke inn et tap. Det tilsvarer dermed ytterligere 2.25 år med bachelor-lønn for å hente inn. Som igjen krever ytterligere 1.95 år med arbeid. Og slik fortsetter det…

Argumentet kan forenkles; hvert år med bachelorlønn har en merverdi på 521.400 – 452.000 = 69.400. Ergo krever den totale summen 1.356.000/69.400 = 19.5 år med arbeidsliv.

Limer vi disse verdiene inn i i Excel-arket fra tidligere får vi altså 25 år med arbeid (19 til 44), før det er 3 år med ingen inntekt. Her studerer man (44-46), før man igjen begynner i jobb med høyere lønn i 20 år (47-67). Da rekker man akkurat å ta igjen den samme inntekten som en VGS-elev oppnår.

For at det skal lønne seg må man altså begynne som 44-åring.

studier som 44

 

For mastergrad blir det tilsvarende fem år som kunne blitt benyttet til å tjene 2.260 mill. Merverdien av mastergradslønnen er 200.300 per år, og man trenger altså 11.28 ~ 12 år i arbeidslivet.

Altså må studiestart være som 51-åring

student som 51

PPS: Litt om renter.

Jeg fikk et spørsmål om i hvilken grad renteeffekter vil slå ut på resultatet. Renteeffekter vil redusere forskjellen mellom VGS, Bachelor og Master, da personen som blir først ferdig vil oppnå flere år med forrentning. Det er likevel en såpass stor forskjell mellom bachelor- og master-inntekt at denne alltid vil lønne seg.

3% rente

Grafen over viser utviklingen i inntekt ved 3% forrentning per år. Vi ser at tendensene fra tidligere opprettholdes, men at differansene reduseres. I dette scenarioet sitter bachelorstudenten kun igjen med 2.4% mer enn VGS-eleven, ned fra 8.1%.

Det finnes dermed et rentenivå hvilket gir at VGS studenten tjener opp et så stort forsprang iløpet av de tre første årene, at bachelorstudenten akkurat klarer å ta igjen vedkommende ved et fullt arbeidsliv. Dette viser seg å være 4.18%

4.18% rente

Tilsvarende finnes det et rentenivå hvilket gir at VGS-studenten tjener opp nok iløpet av de fem første årene til å at masterstudenten akkurat klarer å ta igjen iløpet av et fullt arbeidsliv. Dette viser seg å være 7.3%

7.3% rente.png

For alle rentenivå over 7.3% vil det dermed lønne seg å droppe utdanning, og komme fortest mulig igang, da renteeffektene så dominerer inntektseffektene.

Vi er ganske langt unna den situasjonen i Norge idag:

rente sparing

Luftige ringvirkninger

På torsdag morgen våknet jeg til nyheter om kraftig snøvær og forsinkelser på Gardermoen. Jeg skulle fly fra Trondheim til Oslo senere på kvelden, men regnet egentlig med at det ikke kom til å bli et problem, da forsinkelsene skjedde såpass tidlig på dagen. Likevel kom  flyet sent inn, og reiste en time senere enn planlagt, til tross for at dette var nesten syv timer etter de opprinnelige problemene hadde oppstått.

Dette fikk meg til å gruble; hvor lenge henger egentlig forsinkelser igjen i flytrafikken, og hvorfor henger det igjen såpass lenge? Hvilke faktorer er det som gjør at en forsinkelse tidlig på morgenen kan medføre såpass med ringvirkninger iløpet av dagen? For å kunne si noe om dette trenger vi noen forutsetninger om hva det er som påvirker flyenes reise- og pausetid.

Flyet har to forskjellige situasjoner det kan befinne seg i, underveis i luften eller under av- og pålastning ved flyplass. Vi begynner dermed resonnementet med å legge til grunn noen antagelser rundt dette.

Det vanlige jeg har opplevd av gjenvunnet tid etter en forsinkelse, er en times lang flygning som gjennomføres på 50 minutter, altså ti minutter som tas igjen iløpet av flyturen. Dette tilsier at flyet klarer å hente inn 10/60, eller 16.667%, av den totale reisetiden iløpet av en flygning. Vi legger dermed dette som grunnlag for tiden et forsinket fly kan hente inn.

Videre antar vi at alle fly trenger omtrent 15 minutter fra landing til å laste av passasjerer, samt ytterligere 15 minutter på å boarde de nye. Dette er knapt, men ikke urimelig. Argumentet for såpass streng bakketid baserer seg på flyselskapenes inntjening. All tid hvor flyet står stille på en flyplass er en kostnad for flyselskapet; de tjener penger på de timene hvor flyet er i luften. Flyselskapene ønsker dermed å minimere turn-around tiden, en antagelse som holder spesielt godt for lavpris-selskap som har lavere profittmargin per passasjerer, og dermed sterkere insentiv til å gjennomføre flest mulige flygninger. Det kan også antas at det i realiteten eksisterer en viss tidsbuffer mellom hver av flygningene et selskap setter opp, nettopp for å minimere  effektene av en forsinkelse. Vi ser i denne analysen initielt vekk fra en slik buffer. Flyene reiser videre så snart den behøvde turn-around tiden er gjennomført.

Med disse antagelsene lagt til grunn får vi den følgende tabellen for et fly som reiser mellom Oslo og Trondheim, med en opprinnelig forsinkelse på 1 time:

 

Flyforsinkelse univariat

Vi ser altså at et fly med mulighet til å hente inn ti minutter per flygning vil med en times forsinkelse behøve seks flygninger for å hente inn rutetiden, enkelt nok. Med en halvtimes turn-around tid er det altså snakk om 9 timer fra den opprinnelige forsinkelsen til første fly atter en gang flyr på rutetid.

Nå har vi valgt veldig enkle tall for flygetid, hva om vi forsøker å sammenligne flere andre ruter? Vi legger til grunn samme prosentvise sats på 16.67% for innhentet tid, samt den samme, konstante turn-around tiden på 30 minutter. En oppsummering for hver av rutene gir følgende:

Flyforsinkelse multivariat

Naturlig nok ser vi at desto lenger flygetiden er, desto færre flygninger vil man behøve for å ta igjen rutetiden. Dette kommer selvfølgelig av at de lengste flygningene har mulighet til å ta inn et større antall minutter per flygning (da dette er satt til en fast prosent av flygetiden). Disse trenger dermed færre snuoperasjoner, som innebærer en fast kostnad på 30min uansett. Som følge av dette ser vi at langdistanseflygninger vil være tidligere tilbake i rute enn lokalflygninger.

Det er klart at hvor lang tid det vil behøves for å fange igjen en forsinkelse vil i denne formen avhenge sterkt av tre faktorerer;

  • Den prosentvise tiden som kan hentes inn iløpet av en flygning
  • Turn-around tid i hver ende
  • Størrelsen på den opprinnelige forsinkelsen.

Vi overvurderer kanskje tiden som kan tas igjen når vi tar utgangspunkt i 10 minutter per time. For å oppnå en slik innhenting er flyet nødt til å øke hastigheten – noe som resulterer i høyere forbruk av bensin, en kostnad for flyselskapet. Flyselskapet har dermed liten interesse av å øke hastigheten, men vil antageligvis heller kutte i turn-around tid i hver ende. Hvis vi tar utgangspunkt i at denne allerede er minimert av selskapet kan vi isåfall vurdere effekten av forskjellige innhentingssatser.

Hvor mange timer med flytid, hvor flyet er i luften og kan ta igjen tiden, som behøves for å ta igjen hver av forsinkelsene ved forskjellige innhentingssatser gjengis nedenfor:

flytid påkrevd for null.png

Vi ser som istad at en times forsinkelse, med utgangspunkt at flyene kan ta igjen 10min per time, resulterer i at et fly må ha seks operative timer i luften før tiden er hentet inn igjen. Noe som med en turn-around tid på en halvtime resulterer i at forsinkelsen henger igjen i systemet i 9 timer etter opprinnelig forsinkelse oppsto.

Dersom vi reduserer innhentningen et fly kan oppnå til 10% øker denne tiden til 10 timer lufttid, og totalt 15 timer med forsinkelse i systemet.

Reduserer vi det ytterligere til knappe 5% kreves det 20 timer lufttid, en total på tredve timer forsinkelse i systemet. En times forsinkelse sinker de påfølgende avgangene i over et døgn!

Heldigvis er det noen ting som i realiteten minsker disse ringeffektene noe. Vi har for eksempel ikke vurdert muligheten for å sette inn ekstra fly ved behov. Dette kan bidra til å lette på presset, og raskt eliminere eventuelle ringeffekter. Vi har heller ikke vurdert en større buffertid mellom hver flygning som kan spises av ved forsinkelse. Dersom det itillegg foreligger en buffer på 15 min per flygning, vil dette i realiteten eliminere forsinkelsene mye raskere;

Med buffer

Det kreves nå kun 3 flygninger for å ta igjen rutetiden. Forsinkelsen henger kun igjen i knappe fem timer ved 16.667% innhentning, og tilsvarende for 10%. Ved 5% tar det 6 flygninger, og 9.5 timer for å hente inn rutetiden, en betydelig forbedring fra 30 timer.

Det er også et poeng at slike forsinkelser sjeldent vil vedvare lenger enn et døgn ved lokalflygninger, da det går få innenlandsflygninger midt på natten og det dermed vil være en del timer uten noen ytterligere flygninger. Dette vil dog kunne være et større problem for interkontinentale flygninger som går kontinuerlig; men disse får da tilsvarende flere lufttimer i strekk som lar dem hente inn forsinkelser raskere.

Flytrafikken er et tett sammenknyttet, og dermed relativt skjørt system. En enkelt forsinkelse tidlig på dagen kan ha ganske brede og langtvarende konsekvenser for resten av flygningene utover dagen. Men når alt kommer til at kan det være greit å ha Louis C. K. i bakhodet:

People say there’s delays on flights. Delays, really? New York to California in five hours, that used to take 30 years, a bunch of people used to die on the way there, have a baby, you would end up with a whole different group of people by the time you got there.

Now you watch a movie and go to the toilet, and you’re home.

— Louis C.K.

 

 

Hvit løgn, sort løgn og statistikk

krf går mest frem måling abcnyheter  tv2

Så, Opinion har kommet med en ny meningsmåling på oppdrag av Avisenes Nyhetsbyrå (ANB), og de store nyhetene er at KRF raser avgårde med 1.9% økning mens MDG faller med 1.6%, og ligger dermed under sperregrensa.

Problemet er bare at…

tallenes tale

… tallene baserer seg på 962 telefonintervjuer, hvorav bare 74% har avgitt svar. Det vil si at de har 712 person som har fortalt hvor de står.

I 2015 var det såvidt over 4 millioner stemmeberettigede personer i Norge (4.016.624 ifølge SSB). Det vil si at Opinion har forhørt seg med 0.01% av befolking.

Nå er det greit nok å ikke forhøre seg med hele befolkningen, det kan vi heller ikke forvente. Meningsmålinger fungerer nettopp ved at man finner et representativt utvalg av den totale populasjonen og estimerer de faktiske andelene basert på dette. Dersom man trekker helt tilfeldig fra populasjonen vil fordelingen av utvalget etterhvert gå mot den faktiske fordelingen etterhvert som man har flere og flere observasjoner.

Det som er kritisk å ha i bakhodet da er at desto flere observasjoner man har desto nøyaktigere vil estimatet bli, og motsatt. Så når man har et lite utvalg vil usikkerheten i estimatene bli forholdsvis stor. Dette er det vi kjenner som feilmarginen.

Feilmarginen vil variere avhengig av partistørrelse. Dersom partiet er lite, og vi har få observasjoner, vil det naturligvis være en større feilmargin enn dersom partiet er større og vi har like mange observasjoner.

Opinion oppgir sin feilmargin som «mellom 1 og 3 prosent avhengig av partistørrelse.»

Hvis vi ser på tallene igjen, relativt til partistørrelsen, finner vi som følger.

KRF er et relativt lite parti, og har ligget på rundt 5%. Med en feilmargin på 1-3% kan vi dermed ikke vurdere en endring på 1.9% som statistisk signifikant. For alt vi vet står de dønn stille på meningsmålingene. 

MDG er et enda mindre parti. Dermed sier det seg selv at 1.6% endring heller ikke er signifikant. 

Hva med de andre partiene?

Foruten om Høyre ligger alle andre parti på under 1% endring. Det er mindre enn selv den best estimerte feilmarginen på 1%. Høyre har en nedgang på 1.3%, men selv her kan vi i beste fall (sånn rent statistisk sett, ikke nødvendigvis politisk) peke på en nedgang på 0.3%.

Det betyr at avisartikkelene like greit kan være:

kanskjekrf måling abcnyheter ny

tv2ny

There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics,

-Benjamin Disraeli

Kom igjen ‘a.

Hvor lenge kan du holde igjen bussen?

Okai, så klokka har nettopp bikket over tre på ettermiddagen. Du vet at du ikke egentlig burde reise fra lesesalen før den har passert fire, men samtidig er det ikke som du kommer til å få gjort noe mer arbeid idag. Så du pakker sekken og vandrer avgårde mot bussen. Så skjer det som alltid skjer. Det skjebnesvangre øyeblikket i det du går ut hovedinngangen og ser at bussen står på holdeplassen nede ved veien. Skal du løpe og veive vilt med armene i et håp om at sjaføren leser din gestikulerte bønn og venter, eller vandre sakte og rolig ettersom at du uansett ikke kommer til å rekke den?

Løsningen for mange av studentene ved NTNU Dragvoll ser ut til å bestå av å komme seg fortest mulig ned til veien og foran bussen slik at den ikke kan kjøre. Det har seg nemlig slik at fotgjengerovergangen fra hovedinngangen er plassert omtrent 20m foran bussholdeplassen.  En effektiv løsning, om dog en noe frustrerende en. Hvor lenge kan du legitimt forsinke bussen på denne måten?

Her kan det fort bli aktuelt å se på køprising. Køprising er et tema som er hyppig oppe i den offentlige debatten. Debatten omhandler at kø er en byrde som påfører alle brukere av veien en kostnad. Tanken ved køprising er å tvinge brukerne av veien til å betale for den kostnaden de er med på å påføre alle andre brukerne av veien. Men før man kan fastsette dette beløpet er man nødt til å kunne beregne den faktiske kostnaden av å stå i kø. Så hvordan gjør man det?

Den enkleste måten å tenke på køprising er at kostnaden er lik den tapte verdiskapning som følge av køen. Alle ingeniørene som sitter i trafikk kunne istedet sittet på kontoret og skapt verdier. Hvis 20 personer med 200 kroner timelønn blir sittende i kø i en time har man altså tapt 20*200 = 4000 kroner på en times kø . Dette er dermed en måte å beregne både gevinst og kostnad ved veier. Om man bygger en sikrere motorvei som tillater en økning i fartsgrensen fra 70km/t til 90km/t vil hver bruker av den nye veien spare tid ved at de kommer raskere frem. Over hundretusenvis eller millioner av personer som reiser på veien, over ti-talls år, blir denne effekten veldig fort veldig vesentlig. Derfor er oppgradering av veier og lignende transport-infrastruktur ofte høyt prioriterte offentlige prosjekt.

Dette betyr også at forsinkelser på bussen medfører en kostnad for alle brukerne av bussen. Om jeg for eksempel kommer løpende og holder igjen bussen i ti sekunder tenker jeg ikke så mye over det – men effekten må summeres opp over alle de andre i bussen. De vanlige AtB-bussene i Trondheim har en standard kapasitet på 49 sitteplasser, og omtrent tilsvarende like ståplasser. Nå er det mange busser som kjører i Trondheimsområdet, og mens noen er stappfulle (virker hvertfall sånn hver gang jeg hopper på bussen) er det også tilsvarende mange som er tilnærmet tomme. Dermed kan vi ta utgangspunkt i en halvfull buss, på omtrent 50 personer.

Det vil si at om jeg kommer løpende fra lesesalen og holder igjen bussen med ti sekunder er det i praksis 500 sekunder som går tapt bare for at jeg skal rekke den bussen. Det betyr at for at det skal være en positiv nettoeffekt må det at jeg holder bussen i ti sekunder resultere i en gevinst på 500 eller mer sekunder for min del – noe som godt kan tenkes om det er femten minutter mellom hver buss som går. (Det kreves og at jeg er fullstendig effektiv med tiden min når jeg ikke er på bussen. Som om).

Det er dermed interessant å ta en vurdering på hvor lenge man kan holde igjen bussen for at det skal kunne fremdeles ha en nettoeffekt.

Vi legger til grunn noen forutsetninger:

  1. Når jeg nå regner tapt tid regner jeg kun i den tapte tiden for de personene som allerede sitter ombord i bussen. Den tar ikke hensyn til  alle som er down-stream – det vil si de som står og venter på bussen om 3, 4 og 5 stopp. Dette er et vanskeligere hensyn å ta. For det første vil en forsinkelse påvirke dem forskjellige med tanke på hvor langt de skal reise totalt, og det er vanskelig å si at reisetiden er den samme uansett. Kanskje vil sjaføren bli stressa om jeg holder den igjen, og dermed kjøre raskere. Kanskje han unngår, eller blir fanget i, en kø han ellers ikke hadde blitt påvirket av. Jeg er lat og ignorerer dette. Jeg vurderer det som at bussen er allerede halvfull i det jeg går på – og at alle skal reise minst like langt som jeg skal.
  2. Sjaføren kjører helt identisk uansett av hvor forsinket han blir;  vi antar en fullstendig uniform reisetid uansett tidspunkt man reiser på.
  3. Alle er perfekt effektiv i alternativ anvendelse av tiden deres. Hvis dette ikke holder må man plutselig begynne å begrunne om to minutter spart for meg tilsvarer den samme nytten som du nyter av to minutter. Det blir fort vanskelig.

Okai, så tilbake til problemet. Hvor lenge kan jeg holde igjen bussen for at det fremdeles skal være en nettogevinst? Svaret på dette vil åpenbart avhenge av hvor mange personer som sitter på bussen. Er du den eneste kan du teoretisk sett holde igjen bussen i et kvarter – etter dette kan du jo like greit ta neste buss. Sjaføren kjører jo uansett, og vi ser bort ifra andre passassjerer som reiser fra et senere stopp. Dermed vil det eneste aggregerte tapet være det som du selv påføres ved å holde igjen bussen.

For hver ekstra person som sitter på bussen må nettoverdien av min tidsgevinst fremdeles veie opp for økning i tapt verdiskapning. Det vil si at fortjenesten (de minuttene jeg slipper å benytte på å vente på neste buss) må overstige den aggregerte effekten av alle som er ombord (igjen, forutsatt perfekt alternativ anvendelse av tiden.) Det vil si at om vi forventer at alle busser kommer presist hvert 15. minutt (nok en usannsynlig antagelse) kan vi se på det som at min mulighet til å holde igjen bussen sparer meg for 900 sekunder ventetid på neste buss.

Om vi går utifra at det er 50 personer i bussen, og at det er 900 sekunder til neste buss, kan jeg altså legitimt begrunne å holde bussen igjen i 18 sekunder. Holder jeg bussen i mer enn dette øker kostnaden for alle andre ombord i  bussen mer enn tidsgevinsten min gjør, og vice versa. Holder jeg bussen i ti sekunder sparer jeg 900 sekunder på en 500 sekunders bekostning for de ombord, og nettogevinst er altså positiv; 400 sekunder. Holder jeg bussen i 20, sparer jeg 900 sekunder på bekostning av 1000 sekunder. Jeg koster dermed andre mer tid enn jeg tjener inn selv.

Men det er jo ikke alltid at bussen er full. Dermed kan vi få den følgende grafen for alternative scenarioer; fra tom til full buss:

Forsinkelse

Vi finner dermed at dersom det kun er ti personer på bussen kan du holde den igjen i opptil 90 sekunder med god samvittighet. Er bussen stappfull kan du fremdeles holde den i 9 sekunder for å oppnå nøytral gevinst, altså at din gevinst perfekt veier opp bussens kollektive tap.

Dette er ikke nødvendigvis resultatet jeg ønsket å finne, men data er data. Det er dog verdt å nevne at om man skal være mer realistisk og inkludere alle som står på senere stopp, blir det opplagt at forsinkelseskvoten blir betydelig mindre. Vi kan regne med at bussen tømmes og fylles fullstendig minst en gang iløpet av en hel tur – og dermed har vi i realiteten at kvoten kan være nede i 4.5 sekund ved stappfull buss.

Det er også sånn at dersom vi regner tapt verdiskapning er ikke alles tid like mye verdt. Om det sitter en konsulent med mange hundre kroner i timelønn, vil det tapet som påføres være større enn gevinsten en student oppnår. Studenter har jo betydelig lavere implisitt timelønn.

… Men hva er egentlig timelønnen til en student?