Om synkroniserte hjerter og bursdagsproblemet

En av fordelene ved å være glad i sære matematiske sammenhenger er at man ofte blir stilt interessante spørsmål. Spørsmål sånn som dette:
Du, mattegeniet, kunne du gjort meg en tjeneste? Jeg trenger litt hjelp med sannsynlighetsberegning for hvor mange hjerter som slår samtidig på jorden, og sjansen for at hvor mange ville slått sammen i en gruppe på ca 50 mennesker – kan du bidra?
Uh, hvor i all verden begynner man?

Problemet består altså av å beregne sannsynligheten for at to tilfeldige mennesker har hjerter som slår i takt. Det krever en del forutsetninger for hjerterytmer, og en diskusjon av hva samtidighet egentlig innebærer.

Et normalt hjerte har hjerterytme mellom 60 og 100 slag per minutt. Toppidrettsutøvere kan ha en rytme på så lavt som 40, men det er ekstremalavvik. Jeg velger derfor å ta basis i 60-100 intervallet og normalfordeler rundt 80 bpm (beats per minute). Det vil si omtrent 1.33 slag per sekund, eller 0.75s for hele durasjon av et slag, med sammentrekning og pumping til neste slag begynner.

Et problem vi må ta stilling til er at hjertet går gjennom mange forskjellige faser i løpet av et vanlig hjerteslag, og det er dermed veldig vanskelig å definere samtidighet og hva «i takt» egentlig betyr i denne sammenhengen. Er to hjerter «i takt» om de banker innenfor et sekund av hverandre? Er de i takt om det ene trekker seg sammen mens det andre ekspanderer? Hvor presise trenger vi egentlig å være her?


Med utgangspunkt i to personer med identisk puls, virker det naturlig å definere takt som en samtidig «start» på hjerteslaget. Vi kan altså snevre inn definisjonen til at «i takt» krever samtidighet i det elektriske signalet som igangsetter slaget, og at forskjellen mellom disse to må være et så marginalt avvik at vi sliter å skille mellom dem.


Det elektriske signalet som sparker hjertet igang kalles for QRS-komplekset, og antas normalt å vare mellom .06-0.1 sekunder (fra:Wikipedia). For å ha et enkelt tall å forholde oss til tar vi utgangspunkt i medianverdien på 0.08 sekunder.

Hittil har vi altså tatt utgangspunkt i 80 slag i minuttet, hvert med et varighet på 0.75s, og at det initielle kicket har en varighet på 0.08s.

Neste utfordring består av å definere hvor stort det marginale avviket mellom slagene må være for at vi skal klare å skille mellom dem. Her var jeg usikker på hvordan jeg skulle gå frem, så jeg valgte den opplagte løsningen: jeg satte opp to metronomer, og prøvde å finne ut når jeg kunne høre et tydelig avvik i rytme. Dette viste seg å ligge å omtrent \frac{2}{60}-dels forskjell, eller drøye 3% differanse. Ved bruk av metronom kan jeg høre tydelig rytmeforskjell først ved \frac{2}{60} -dels avvik i takt, det vil si avvik på omtrent 3% i rytmen.

Artig nok fant jeg også en artikkel som bekreftet dette resultatet etter klinisk eksperimentering. Centre for History and Analysis of Recorded Music (CHARM) har publisert en artikkel der de har undersøkt Just Noticable Differences (JND), altså hvor mye du kan variere tempo i musikk før lytterne klarer å høre et klart avvik. Som det fremgår av artikkelen:
… if you increase the tempo by 3% each beat, a person (at least the one who took the test) can perceive the acceleration in tempo. If the tempo is changed by 1% for each beat, then a tempo will not be perceptible until at least 5 beats (including the ones used to define the starting tempo).
                                                                                                  –Mazurka.org

Artikkelen bekrefter altså at et 3% avvik i tempo er et merkbart avvik. Vi benytter derfor dette som målet vårt for samtidighet i rytme. Et hjerteslag vurderes altså for anledningen å være «i takt» med et annet dersom det er startet før eller etter 3% av hjerteslagsimpulsen (QRS) til et annet hjerte, altså pluss/minus omtrent to og et halvt millisekund. Mitt og et annet hjerte er dermed tilnærmet lik i takt om det andre hjertet fyrer impuls 2.5 millisekund før eller etter mitt.

Vi har dermed et intervall på omtrent 5 millisekunder hvor to hjerter kan vurderes for å være i takt, ut av en total varighet på 0.75 sekund. Det er omtrent 0.66% av varigheten, eller \frac{1}{150}-del av den totale perioden. Det vil si at du statistisk kan forvente å finne noen med samme hjerterytme som deg selv en gang i en gruppe på 150, gitt forutsetningene vi har lagt til grunn. Dette er dog bare sannsynligheten for at noen deler rytme med deg. Hva er sannsynligheten for at to tilfeldige personer i et rom deler takt?

Dette problemet er i seg selv et artig problem, for det ligner mye på det såkalte bursdagsproblemet. I bursdagsproblemet forsøker man å finne hvor mange personer som må være i et rom for at det skal være 50% sjanse for at to deler samme bursdag. Det logiske og enkleste utgangspunktet er at det ved 366 personer i et rom må være 100% sjanse for at noen  deler bursdag, men interessant nok viser det seg at det kun kreves 23 personer for 50% sannsynlighet, og at det ved 70 personer er 99% sannsynlighet for at to personer deler bursdag.

Dette er fordi hver eneste nye person i rommet må sammenlignes opp mot alle som allerede er i rommet. Det holder ikke at den nye personen ikke deler bursdag med deg, vedkommende kan heller ikke dele bursdag med noen andre som er i rommet.

Løsningen tar altså utgangspunkt i at det er en like stor sjanse for at noen har bursdag på hver av årets dager (det finnes noen klyngedannelser for bursdager, men de regnes ikke som signifikante nok til å ha særlig effekt på resultatet).
Vi definerer at P(A) er sannsynligheten for at to personer deler bursdag, og at P(A') er sannsynligheten for at ingen to personer deler samme bursdag. Da fremgår det logisk nok at P(A) = 1 - P(A'). Vi kan altså like greit se på når sannsynligheten for at ingen to personer har samme bursdag dypper under 50%, ettersom at dette vil tilsvare at sannsynligheten for at to personer har samme bursdag overstiger 50%.


Den første personen har en \frac{365}{365}-dels sjanse for å ikke ha bursdag samme dag som noen andre, ettersom at det ikke er noen andre å dele med. Personen kan altså ha bursdag en hvilken som helst dag. Person 2 kan ha bursdag alle dager utenom den person 1 har, det vil si: \frac{364}{365}.

Sannsynligheten for de to personene ikke har samme bursdag er da \frac{365}{365}*\frac{364}{365} = 0.9972

Den tredje personen kan hverken dele bursdag med person 1 eller person 2, og kan dermed bare velge blant de 363 resterende dagene. Den kumulative sannsynligheten for at ingen deler bursdag faller altså til  \frac{365}{365}*\frac{365}{365}*\frac{363}{365} = 0.9918

Slik kan vi fortsette helt til vi kommer til den 23. personen. Da vil sannsynligheten for at ingen to personer deler bursdag være:
\frac{365}{365}*\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*...*\frac{343}{365} = \frac{1}{365}^{23} * (365*364*363*...*343) \approx 0.4927


Vi kan benytte en helt identisk tilnærming når vi vurderer sannsynligheten for at to personer har samstemte hjerteslag. Med utgangspunkt i mulighetsintervallet på 5 millisekunder, eller \frac{1}{150}-del av tiden ved et vanlig hjerteslag, kan vi vurdere hvor mange personer som skal til før sannsynligheten for at to hjerter banker likt overstiger 50%.

Vi tar igjen utgangspunkt i at en person kan ha en hjerteimpuls som fyrer på et vilkårlig tidspunkt. Neste person i rommet vil da ha \frac{149}{150}-dels sjanse for at hjertet fyrer QRS-periode som ikke skal falle innenfor 2.5 millisekunder før eller etter den første personens impuls. Den tredje person har tilsvarende \frac{148}{150} i mulighetsrom. Den kumulative sannsynligheten for at det ikke er noen som deler impulsperiode innenfor det marginale avviket på 5 millisekunder er helt tilsvarende det vi hadde tidligere; \frac{150}{150}* \frac{149}{150}* \frac{148}{150} \approx 0.98.

Hvor mange personer må det være i rommet før det er en 50% sjanse for at to impulser faller innenfor samme 5 millisekunders intervall?
Svaret viser seg å være lavt, allerede ved 15 personer har vi krysset 50%-grensen:
\frac{150}{150}*\frac{149}{150}*...*\frac{136}{150} \approx = 0.4849
Det skal altså ikke mer enn 15 personer til i et rom før det er 50% sjanse for at to av hjertene slår i takt, gitt de forutsetningene vi har til grunn.

Den magiske 99%-grensa krysses ved 37 personer.
\frac{150}{150}*\frac{149}{150}*...*\frac{114}{150} \approx = 0.0078
Med 37 personer eller mer er det altså mer enn 99% sjanse for at minst to hjerter slår i takt.

Den kumulative sannsynlighetsfordelingen ser ut som følger:
kumulativ-synkronisering

Det må nevnes at dette, i likhet med de fleste postene på denne siden, er en forenkling av virkeligheten. Vi har her tatt utgangspunktet i en felles, fast puls på 80 bpm, men dette er jo langt fra noen selvfølgelighet. I den virkelige verden vil vi forvente å møte personer med rytme fra 60 til 120 slag per minutt, og følgelig vil tilfellene hvor slagene er i takt være langt sjeldnere. Ikke bare kan vi forvente et stort spenn, men fordelingen av disse rytmene vil også være en kontinuerlig, ikke diskré, fordeling. Vi kan altså forvente å finne individer med puls på 74.67 bpm, 74.68 bpm, 74.69 bpm, osv.

Samtidig vil man også kunne finne tilfeller der to personer slår i i takt, men ikke nødvendigvis har samme hjerterytme. Hvis en person har en puls på 60, og en annen 120 vil annenhvert slag kunne slå samtidig, noe som må vurderes for å være i takt. En person med puls på 100 og en med puls på 60 vil også kunne vente å oppleve at enkelte slag er synkroniserte, selvom den helhetlige takten uteblir.

Om ikke noe annet må det kunne sies å være et poetisk element i nettopp det, for selv om du med over 7 milliarder andre mennesker er garantert at noen har et hjerte som slår i takt med ditt, vil det være langt vanligere at du møter personer hvor enkelte slag støtt og stadig er synkroniserte. Som alt i alt er en ganske god oppsummering av det hele.

Idéen om sjelevenner, to personer hvis hjerter banker som ett, er altså ikke en matematisk umulighet – bare en sjeldenhet forutsatt en homogen puls. Kanskje ikke like romantisk, men hey – det er noe?
Reklamer